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琴生不等式及不等式综合

发布时间：2020-05-23 21:07:29 来源：文档文库

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第四章琴生不等式

一、函数的凹凸性：

定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有

①

则称为 (a，b)上的下凸函数．

注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数）

2．下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．

二、琴生不等式：

若是区间 (a，b) 上的凸函数，则对任意的点x1，x2，…，xn(a，b)，有

取“=”条件：x1 = x2 = … = xn

证明：

注：更一般的情形：

设是定义在区间 (a，b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有

（其中），则称是(a，b) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：

设，若是区间 (a，b) 上的下凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn(a，b)有．

取“=”条件：

说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．

例1 证明：(1) 在上是上凸函数

(2) 在上是上凸函数

(3) 上是下凸函数

证明：(1) 对

(2) 对

即：．

(3) 当时

（∵）

即：．

例2 用琴生不等式证明均值不等式，即：．

证：∵

设，则为上的上凸函数

由琴生不等式：

即

例3 ，且a + b + c = 3，求证：．

证明：设，则上的凹函数．

由琴生：

∴ ．

例4 定义在 (a，b) 上，在 (a，b) 上恒大于0，且对有

．

求证：当时，有．

证明：由题：对，有，两边取常对：

则有

即

于是：令，则为(a，b) 上的凸函数

由琴生不等式：对，有

即．

三个重要的不等式强化练习

（均值、柯西、排序不等式）

1．用柯西不等式证明：

若，求证：．

证：由柯西

．

2．设．

求证：

证明：由柯西：

∴ ．

3．设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数．

证明：．

证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排序，且b1 < b2 < … < bn

又由于，由排序不等式

①

(反序和) (乱序和)

另一方面，∵

∴ ②

由①②知：

其中，ak = bk = k时，取“=”号．

4．若，求的最小值．

解：不妨设

由排序不等式，有

（同乱）

（同乱）

两式相加，可得

当且仅当a = b = c时取“=”号．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c13862f6182e453610661ed9ad51f01dc28157a2.html

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