卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第一章习题答案

第一章习题答案

第1-10，17题略. 从11题开始（9，10，11类似）

11

证明：任取左边的元素，则，当然对任意的，有，即，. 因此，该含于右边. 得到左是右的子集；另一方面，任取右边的元素，则，即. 让，得到. 因此，该含于左边. 得到右是左的子集. 综上，左等于右.

12 设实函数列在上定义，又设. 证明对，成立

.

证明：因，故当时，必有，这表明

，因此.

另一方面，任取，由下极限的定义，知存在，使（若否，则对任意的，有，这表明，矛盾）. 当然有，故. 综上，左等于右.

13 实函数列在上收敛到，证明对任意的，成立

.

证明：任取左边的元素，则. 由于，所以对任意的，存在，使得当时有，即有. 也即，对任意的，恒有，所以. 这表明是右边的元素，所以左是右的子集.

另一方面，任取右边的元素，则对任意的，存在，使得当时有. 让，得到. 再由的任意性，得到. 这表明是左边的元素，所以右是左的子集. 综上，左右相等.

14 若集列单减，则.

证明：因为单减，所以，. 得到

，

.

即，

.

15 证明

证明：若，显有; 若，由特征函数的定义知. 再由下限集的性质知存在，使，从而对有，故. 此时. 总之，.

另一方面：若，显有; 若，又因为

，故. 因此存在，使得. 由特征函数的定义知，再由下限集的性质知. 因此，，也就得到. 总之. 综合有.

16 证明定理1.2.4与Bernstein定理等价.

证明：必要性：由假设知存在到上的双射,到上的双射. 令. 则，且与对等（因为是单射）. 又因为，因此. 由定理1.2.4知三者对等，又与对等，根据对等的传递性，得到与对等，故Bernstein定理成立.

充分性：设且. 一方面，另一方面，由Bernstein定理知. 又，根据对等的传递性，得到. 即定理1.2.4成立.

18 设为无限集，为有限集，证明.

证明：因为为无限集，为有限集，所以是无限集. 由知道是有限集. 而，右边是一个无限集并上有限集，不改变对等关系（定理1.3.5），所以.

19 设为无限集，为可数集，若为无限集，证明. 并举反例说明“为无限集”这一条件不可去.

证明：因为为可数集，所以是至多可数集. 而，又是无限集，由定理1.3.5知命题成立（与18题类似）.

20 空间中坐标为有理数的点的全体成一可数集.

证明：显然是三个可数集的乘积，从而是可数集.

21中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集.

证明：设该集合为. 因为对任意的开区间，存在有理数. 这样，可作一映射，使得. 由于中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此，也就说明了是一至多可数集.

22上单调函数的不连续点的全体为至多可数集.

证明：不妨设函数单增. 任取断点. 由于函数单调，所以在点的左极限和右极限都存在，且. 让断点对应于开区间，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的. 再利用21题即得.

23 设为无限集，证明必存在，使且为一可数集.

证明：因为无限集，故有可数的子集. 令，. 取，则为可数集，为无限集（因），所以.

24 设为可数集，证明的所有有限子集的全体是可数集.

证明：设.的所有有限子集的全体为. 对，设，令与数组对应. 因为不同的集合的元素不完全相同，所以它们对应的数组也不同. 这样由编号定理知为至多可数集. 又因所有的单元素集在中，所以是无限集，因此是可数集.

25 设为其长度不等于零的开区间所组成的不可数集. 证明：存在，使得中有无限多个开区间的长度均大于.

证明：令为中长度不小于的开区间的全体，则. 因为为不可数集，所以右端至少有一个集合是无限集（否则，右边是至多可数集）. 取相应的的长度为即可.

26中无理数的全体成一不可数集.

证明：反证法. 假设中无理数的全体是至多可数集，而中有理数的全体是可数集，这样是可数集（可数集和至多可数集的并是可数集）. 这与是不可数集矛盾.

27整系数多项式的实根称为代数数，称非代数数的实数为超越数. 证明：代数数的全体成一可数集，进而证明超越数的存在.

证明：所有整系数多项式的实根全体正是代数数的全体. 整系数多项式的全体是可数的，而每一个多项式至多有有限个实根. 又可数个有限集的并是至多可数集，这表明代数数的全体是至多可数集. 代数数的全体当然是无限集（因为整数是代数数），所以它是可数集. 因而，也表明超越数的全体是不可数集（利用19题得到）.

28 证明，其中为可数基数，为连续基数.

证明：设，即证明的所有子集的全体的势为. 作从到二进位小数全体的映射为，其中当时，；当时，. 因为不同的集合的元素不完全相同，所以该映射是单射，故. 另一方面，作映射为，其中，该映射也是单射，因此. 综上，有.

29上连续函数的全体的基数是.

证明：因常函数都是连续函数，故. 设，则它是可数集. 不妨设. 对任意的，让其对应于中的实数组

，则这个对应是从到的一个单射. 事实上，若是对应于同一数组的两个连续函数，即. 对任意的实数，存在有理数序列，使得. 这样由函数的连续性得到，也即，也就是说该对应是一个单射. 因此和的某子集对等，故有. 综上，.

30上单调函数的全体的基数是.

证明：类似上一题.上单调函数的全体的基数显是不小，因为都是中的元素. 对任一单调函数，其断点的全体是至多可数集（第22题的结论）. 令，则是可数集，设. 让函数对应于，这个对应是单射（方法类似于上题，不过要多考虑断点罢了）. 因此，上单调函数的全体的基数不超过的基数. 命题得证.

31上实函数的全体的基数是.

证明：设上实函数的全体为. 对任意的集合，则其特征函数，并且不同集合的特征函数是不同的. 所以的子集的全体对等于的一个子集，从而. 另一方面，对任意实函数，让其和集合对应（该集合是函数的图像），当然这一对应是单射，从而和的某些子集构成的集合对等，也即. 综上，.

32 设，证明和中至少有一为.

证明：不妨设不相交. 显然的势都不超过.

对任意的，作直线，则的势均为.

若存在，使得，则的势不小于的势；

若不存在，使得，即任取，必有，使得，这时必有. 这表明集合，而集合的势为，故的势不小于. 综上和中至少有一不小于. 又的势都不超过，因此和中至少有一个为.

注意：该题不好用反证法，因为集合的势小于时不能得到集合是至多可数集（康托连续统假设的不确定性）.

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