2021湖北宜昌中考数学解析

2021年湖北省宜昌市初中毕业、升学考试

数 学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2018湖北宜昌，1，3分） 的绝对值是( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【知识点】绝对值的意义.

2．（2018湖北宜昌，2，3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】D图沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，故选择D.

【知识点】轴对称图形的概念.

3．（2018湖北宜昌，3，3分） 工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位.“1.21万”用科学记数法表示为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【知识点】科学记数法——表示较大的数.

4．（2018湖北宜昌，4，3分）计算（ ）

A． B． C. D．

【答案】D

【解析】

【知识点】有理数的计算，有理数的运算顺序.

5．（2018湖北宜昌，5，3分） 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉子，这个字是“绿”的概率为( )

A． B． C. D．

【答案】B

【解析】∵在“绿水青山就是金山银山”中，共有10个字，只有1个“绿”，∴“绿”的概率为.

【知识点】概率.

6．（2018湖北宜昌，6，3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )

A． B． C. D．

【答案】 C

【解析】左视图表示从左边看到的图形，故选择C.

【知识点】几何体的三视图.

7．（2018湖北宜昌，7，3分）下列运算正确的是( )

A． B． C. D．

【答案】C

【解析】故选择C.

【知识点】整式的运算.

8．（2018湖北宜昌，8，3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律，则，的值分别为( )

(第8题图)

A. B．

C. D．

【答案】B

【解析】

【知识点】据数字排列，找规律.

9．（2018湖北宜昌，9，3分）如图，正方形的边长为1，点分别是对角线上的两点, , ,，，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于( )

(第9题图)

A．1 B． C. D．

【答案】B

【解析】图形沿直线AC折叠，直线两旁的阴影部分可合并到△ABC中，△ABC的面积为正方形的面积的一半，故选择B.

【知识点】轴对称图形，翻折.

10．（2018湖北宜昌，10，3分）为参加学校举办的“诗意校园·致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛.这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8.下列说法正确的是( )

A.小明的成绩比小强稳定 B.小明、小强两人成绩一样稳定

C.小强的成绩比小明稳定 D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定

【答案】A

【解析】方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，在样本容量相同或极为接近的时候，比较方差才可以判断其稳定性，故选择A.

【知识点】平均数，方差与稳定性.

11．（2018湖北宜昌，11，3分） 如图，在平面直角坐标系中，把绕原点旋转180°得到.点的坐标分别为,，则点的坐标为( )

(第11题图)

A． B． C. D．

【答案】A

【解析】在平面直角坐标系中，把绕原点旋转180°得到.点B与点D关于原点对称，故选择A.

【知识点】中心对称图形，旋转，平面直角坐标系，点的坐标.

12．（2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，则的度数为( )

(第12题图)

A．30° B．35° C.40° D．45°

【答案】D

【解析】∵直线是的切线，为切点，∴∠OCB=90°，∵，∴∠COD=90°，∴∠CED=45°，故选择D.

【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.

13．（201湖北宜昌，13，3分） 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.下列作图中正确的是( )

A. B.

C. D.

(第13题图)

【答案】B

【解析】经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图为:以这点为圆心画弧，再以和直线的两个交点为圆心画弧，两弧交点和这点连接，该直线就是这条直线的垂线.故选择B.

【知识点】尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.

14．（2018湖北宜昌，14，3分）如图，要测量小河两岸相对的两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于( )

(第14题图)

A.米 B.米 C.米 D.米

【答案】C

【解析】∵米，，∴在Rt△PAC中，=，故选择C.

【知识点】正弦，正切.

15．（2018湖北宜昌，15，3分） 如图，一块砖的三个面的面积比是，如果面分别向下放在地上，地面所受压强为的大小关系正确的是( )

(第15题图)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】物体所受的压力与受力面积之比叫做压强，∵砖不变，∴压力不变.这块砖的三个面的面积比是，地面所受压强为的大小关系由小变大.故选择D.

【知识点】压强.

二、解答题（本大题共9小题，计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（2018湖北宜昌，16，6分）先化简，再求值：，其中.

【思路分析】先化简代数式，再将x的值代入求值.

【解题过程】解：原式

当时，原式.

【知识点】整式的乘法.

17．（2018湖北宜昌，17，6分） 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.

【思路分析】解出两个不等式，求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来.

【解题过程】解：解不等式①，得

解不等式②，得

∴原不等式组的解集为

不等式组的解集在数轴上表示为：

(第17题答图)

【知识点】解不等式与不等式组，在数轴上表示不等式组的解集.

18．（2018湖北宜昌，18，7分）如图，在中，，,的外角的平分线交的延长线于点.

(1)求的度数；

(2)过点作,交的延长线于点.求的度数.

(第18题图)

【思路分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余，求出∠ABC,由补角求出∠DBC,再由外角的平分线，求出∠CBE.

(2)由直角三角形的两个锐角互余，求出再根据平行线的性质，求出∠F.

【解题过程】 解：(1)在中，,,

,

∴,

∵是的平分线，

.

(2)∵,,

∵,

∴.

【知识点】直角三角形的两个锐角互余，角的平分线，平行线的性质.

19．（2018湖北宜昌，19，7分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是:“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶。已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.

【思路分析】设未知数，列出方程组，解出方程组，写出答案.

【解题过程】解：设1个大桶、1个小桶分别可以盛酒斛，斛，则

解这个方程组，得

答：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒斛，斛.

【知识点】用二元一次方程组解应用题.

20．（2018湖北宜昌，20，8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查.问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选) .对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计.如下表:

(1)填空:在统计表中，这5个数的中位数是__________.

(2)根据以上信息，补全扇形图(图1)和条形图(图2) ;

(3)该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团;

(4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.

(第20题图1) (第20题图2)

【思路分析】(1)中位数，是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据.当变量值的项数为奇数时，处于中间位置的数即为中位数；当为偶数时，中位数则为处于中间位置的2个数的平均数；

(2)根据扇形图统计图和条形统计图完善两幅图；

(3)用频率估计概率;

(4)用树状图或列表法计算概率.

【解题过程】解：(1)填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；

(2)扇形图（图1）中，“没选择”10%

条形图（图2）中，条形高度与，相同

(3)或

(4)树状图为：

(第20题第4问答图1)

列表为：

(第20题第4问答图2)

所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等，其中两名同学同时选择绿植养护社团的结果有1种，

∴两名同学同时选择绿植养护社团的概率为.

【知识点】中位数，扇形统计图，条形统计图，频率与概率，树状图或列表法估计概率.

21．（2018湖北宜昌，21，8分）如图，在中，. 以为直径的半圆交于点，交于点.延长至点，使,连接.

(1)求证:四边形是菱形；

(2) 若，求半圆和菱形的面积.

(第21题图)

【思路分析】(1)先由，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到，证明四边形是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形是菱形.

(2)设，则，连接，在Rt△BDA中，,

在Rt△BDA中，,∴,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，

求出半圆和菱形的面积.

【解题过程】(1)证明：为半圆的直径，

,

,

,

又,

∴四边形是平行四边形.

又,（或，）

∴平行四边形是菱形.

(3)解：连接，

∵,

设，则，

(第21题第2问答图)

∵为半圆的直径，

,

在Rt△BDA中，,

在Rt△BDA中，,

或（舍去）

,

【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.

22．（2018湖北宜昌，22，10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的值都以平均值计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使值降低了12. 经过三年治理，境内长江水质明显改善.

(1)求的值；

(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；

(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的值比上一年都增加一个相同的数值. 在(2) 的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的值与当年因甲方案治理降低的值相等.第三年，用甲方案使值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的值及的值.

【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数;

(2)∵从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，∴可得方程，计算出增长率m；

(3)设第一年用甲方案整理降低的值为，据题建立二元一次方程组，解出方程组，写出答案.

【解题过程】解：(1)

(2)

解得：（舍去）

∴第二年用乙方案治理的工厂数量为（家）

(3)设第一年用甲方案整理降低的值为，

第二年值因乙方案治理降低了，

由题得：

，

∴Q值为20.5，的值为9.5.

【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题.

23．（2018湖北宜昌，23，11分） 在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.

(1)如图1，若点是的中点，求证:；

(2) 如图2，①求证: ；

②当，且时，求的值；

③当时，求的值.

(第23题图1) (第23题图2) (第23题图2备用图）

【思路分析】(1)∵点是的中点，∴AE=DE，再由矩形ABCD的性质，得出边角之间的等量关系，用SAS证明；

(2)①由折叠与中角之间的关系，再由平行，得到角之间的关系，从而，证出.

②当时，先由，

再设，则，，解得

由折叠得，,再据,

设，由比例关系，求出y，得到BP.在中，求出PC,得到∠PCB的余切值.

③若,，；，

【解题过程】(1)证明：如图1，在矩形中，,

又点是的中点，∴AE=DE，可证:；,

(2)如图2，

①在矩形中，,

沿折叠得到

,

,

②当时，

,

,

又,

∴设，则，

，

解得，

,

,

由折叠得，

,

,

设，

则

在中，,

③若,

,

,

又,

由得,

【知识点】全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解分式方程，余弦定理.

24．（2018湖北宜昌，24，12分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为,.过点的双曲线与矩形的边交于点.

(1)填空：_____,_____,点的坐标为__________；

(2)当时，经过点与点的直线 轴于点，点是过两点的抛物线的顶点.

①当点在双曲线上时，求证：直线与双曲线没有公共点；

②当抛物线与矩形有且只有三个公共点，求的值；

③当点和点随着的变化同时向上运动时，求的取值范围，并求在运动过程中直线在四边形中扫过的面积.

(第24题图)

【思路分析】(1)将点C的坐标代入双曲线，求出k值，再将x=4代入双曲线，进而求出E点坐标；

(2)①设直线，由题建立方程组，解得，得出直线表达式，∵抛物线过点，再建立方程组解得得出抛物线的表达式，得到抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入双曲线，求出t的值.得出直线将直线与双曲线联立方程组，据根的判别式，判断出直线与双曲线是否有公共点.

②当抛物线过点，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，建立方程，求出t值;

当顶点在线段上，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，建立方程，求出t值;

③由点的坐标，当时，随着的增大而增大，此时，点在直线上向上运动.又由点的坐标，当时，随着的增大而增大，点在轴上向上运动.

当时，直线与轴交于，与轴交于，当时，直线过点，

当时，直线在四边形中扫过的面积为

【解题过程】解：(1)填空：，点的坐标为；

(2)①设直线

由题意得

解得

∴直线

∵抛物线过点

解得

∴抛物线

顶点

∵顶点在双曲线上

此时直线

联立，得

∴直线与双曲线没有公共点

②当抛物线过点，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，

则

当顶点在线段上，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，

则，

或

③点的坐标为，

当时，随着的增大而增大，

此时，当时，随着的增大，点在直线上向上运动.

又点的坐标为

当时，随着的增大而增大，

此时当时，随着的增大而增大，点在轴上向上运动.

当时，直线与轴交于，与轴交于

当时，直线过点，

当时，直线在四边形中扫过的面积为

【知识点】二次函数综合，点的坐标，双曲线，抛物线，根的判别式，四边形的面积.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bf8927a27c21af45b307e87101f69e314232fac9.html