宿州市2012届高三第三次模拟考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知∈
，
为虚数单位，若
，则
等于（ ）
（A） （B）
（C）－1 （D）
（2）若集合，集合
，则
( )
（A） （B）
（C）
（D）
（3）双曲线的焦点坐标是（ ）
（A）( （B）
（C）
（D）
（4）已知与
为互相垂直的单位向量，
，且
与
夹角为钝角，则
的取值范围
是（ ）
（A）（ （B）（
（C）
∪
（D）
∪
（5）已知是
的内角，则“
”是“
”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分又不必要条件
（6）已知等比数列中，
，则前3项的和
的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
（7）已知点，点
在
所表示的平面区域内, 则
在
上射影的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
（8）在平面直角坐标系中，以原点
为极点，以
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。则曲线
为参数）上到直线
的距离等于
的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（9）已知是以2为周期的偶函数，当
时，
，那么在区间[－1，3]内关于
的方程
（
且
）的根的个数（ ）
（A）不可能有3个 （B）最少有1个，最多有4个
（C）最少有1个，最多有3个 （D）最少有2个，最多有4个
（10）已知正四面体内一点
，满足
，
，则该四面体的棱长是（ ）
（A） （B）
（C）4 （D）8
第II卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）已知随机变量服从正态分布
，且
，
则 .
（12）二项式的展开式中系数最小的项是第 项.
（13）如图所示的程序框图中，输入，则输出的结果是 .
（14）点为抛物线
的焦点，过
的直线交
抛物线于
、
两点，过
、
分别作抛物线
的准
线的垂线段，垂足分别为、
，若
，
，则
.
（15）某同学对函数=
进行研究后，得出以下五个结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数，
≤
恒成立；
③函数的图像与
轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数的图像与直线
有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数满足︱
︱＞1时，函数
的图像与直线
有且仅有一个公共点.
其中正确的结论序号是 （请写出所有正确结论序号）.
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ) 求函数的最大值；
(Ⅱ) 若的三边
所对的角分别为
，
，
，且
为锐角，
，
,
，求
的面积.
（17）（本小题满分12分）
宿州市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构。若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有、
、
三家社区医院，并且他们对三家社区医院的选择是等可能的且相互独立.
(Ⅰ)求甲、乙两人都选择社区医院的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择社区医院的人数为
，求
的分布列和数学期望.
（18）（本小题满分12分）
已知四棱锥
的直观图及三视图如图所示．
(Ⅰ)求四棱锥的体积；
（Ⅱ）若是侧棱
的中点，
求证：平面
；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
（19）(本小题满分12分)
已知数列满足:
，
.
(Ⅰ)证明数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式及其前
项和
.
（20）(本小题满分13分)
已知椭圆：
的两焦点为
，
，并且经过点
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知圆:
，若直线
与椭圆
只有一个公共点
，且直线
与圆
相切于点
；求
的最大值．
（21）（本小题满分14分）
设函数（
，
是自然对数的底数）．
(Ⅰ)当时，求函数
的图像在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若在其定义域内为单调递增函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）若存在，使得
成立，求
的取值范围．
宿州市2012届高三第三次教学质量检测
数学（理科）参考答案
一、选择题：
二、填空题：（11） 0.1 （12）6 （13） （14）5 （15）②④⑤
三、解答题：
（16） 解：（Ⅰ）……3分
当即
时
函数的最大值是
………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知…………8分
∴，∴
…………10分
∴…………………………………………………………………12分
（17） (Ⅰ)设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么
∴甲、乙两人都选择A社区医院概率为 ……………………………………3分
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一社区医院”为事件B，那么
∴甲、乙两人不选择同一社区医院的概率是………………6分
（Ⅲ）依题意
∴的分布列为
，即
…………………………………………………………… 10分
∴…………………………………………………………… 12分
（18）解：由三视图可知，四棱锥中，底面
是边长为1的正方形，
，且
…………………………………………………………………………………2分
(Ⅰ)由锥体体积公式得…………………………………4分
（Ⅱ）连接，交
于点
，显然
为
中点，连接
，则
为三角形
中位线，
所以,又
在平面
外，
平面
……………………………………………………6分
（Ⅲ）以为坐标原点，以
、
、
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，则
，
…………………………………………8分
设面
由同理得
………10分
，由图可知，二面角的余弦值为
…………………………………………12分
另解：作BGPA于G,连接DG,易证∠BGD为所求二面角的平面角，易求cos∠BGD=
.
（19）(Ⅰ)证明：由已知，当时，
①，
②，
① - ②可得，又
，所以
成等差数列。
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知为奇数时
，则
为偶数时，
,得
，
所以. ………………………………………8分
为偶数时，
为奇数时，
又
故..………………………………………………12分
（20）解：(Ⅰ)解法一：
由椭圆的定义知:
得 ，故
的方程为
. ……………………………………5分
解法二： 依题意，①， 将点
坐标代入得
②
由①②解得，故
的方程为
. …………………………………5分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设直线
的方程为
，
由直线与圆
相切，得
① ………………………………7分
由 （*)，
因为直线与椭圆
相切，所以
，得
②，将②代入（*)式，解得
. …………………………………………………9分
由
可得③，……11分
由①②④，将④代入③得
，
当且仅当，所以
…………………………………… 13分
（21）解：（Ⅰ）∵，当
时，点
在函数
图像上。
∴．则
在该点处的切线方程为
即
……… 3分
（Ⅱ）∵，要使
为单调增函数，须
在
恒成立，
即在
恒成立，即
在
恒成立，
又，于是
，经检验知满足条件，
所以当时，
在
为单调增函数；………………………… 7分
（Ⅲ）因在
上为减函数 ，所以
．
①当时，由（Ⅱ）知
在
上递减
，不合题意; … 9分
②当时，由（Ⅱ）知
在
上递增，
只需=
; ………………………………………… 11分
③当时，因
，所以
由（Ⅱ）知在
上为增函数
不合题意 …13分
综上可知，的取值范围为
．……………………………………… 14分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bf48aa82b9d528ea81c7790c.html
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