奶制品的生产与销售

摘要：

关键词：奶制品生产与销售，线性规划

一、 问题重述

问题一：

加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？

问题二：

问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变。为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题

（1） 若投资30元可以增加供应一桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？

（2） 每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制定的生产销售计划有无影响？若每公斤B1获利下降10%，计划应该变化吗？

二、模型假设和符号说明

2.1模型假设

（1）假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

（2）假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；

（3）假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。

2.2符号说明

A1,A2:牛奶的两种类型

X1:每天用于生产A1的牛奶的桶数

X2:每天用于生产A2的牛奶的桶数

三、 问题分析与模型建立

问题一：

数学模型 设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2

目标函数 设每天获利为z元。 x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2

约束条件

原料供应 生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即

x1+x2≤50

劳动时间 生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即 12x1+8x2≤480

设备能力 A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即

3x1≤100

非负约束 x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0

综上所述可得

Max z=72x1+64x2 (1)

s.t. x1+x2≤50 (2)

12x1+8x2≤480 (3)

3x1≤100 (4)

x1≥0，x2≥0 (5)

问题二：

数学模型：设每天销售X1公斤A1,X2公斤A2,X3公斤B1,X4公斤B2,用X5公斤A1加工B1,X6公斤A2加工B2（增设X5,X6可使模型简单）。

目标函数：设每天净利润为z，容易写出目标函数：z=24X1+16X2+44X3+32X4-3X5-3X6

约束条件：

原料供应：A1每天生产X1+X5公斤，用牛奶（X1+X5）/3桶，A2每天生产X2+X6公斤，用牛奶(X2+X6)/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶。

即（X1+X5）/3+(X2+X6)/4≦50

劳动时间：

每天生产A1,A2的时间分别为4（X1+X5）和2(X2+X6)，加工B1,B2的时间分别为2X5和2X6，两者之和不得超过总的劳动时间480小时。

设备能力：

A1的产量X1+X5不能超过甲类设备每天的加工能力100公斤。

非负约束：

X1,X2…X6均为负。

附加约束：

1公斤A1加工成0.8公斤B1,故X3=0.8X5,类似的X4=0.75X6

综上所述有：

Max z=24x1+16x2+44x3-3x5-3x6 (6)

(x1+x5)/3+(x2+x6)/4≦50 (7)

4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6≦480 (8)

x1+x5≦100 (9)

x3=0.8x5 (10)

x4=0.75x6 (11)

x1,x2,x3,x4,x5,x6≧0 (12)

四、 模型求解

问题一：

用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示如下：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3360.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 48.000000

3) 0.000000 2.000000

4) 40.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

计算结果分析：

“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。

“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000”表示最优目标值为3360.000（LINDO中将目标函数自动看作第1行，从第二行开始才是真正的约束条件）。

“VALUE”给出最优解中各变量（VARIABLE）的值：

x1=20.000000，x2=30.000000。

“REDUCED COST”的含义是（对MAX型问题）：基变量的REDUCED COST值为0，对于非基变量，相应的REDUCED COST值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本例中两个变量都是基变量。

“SLACK OR SURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式约束；第2、第3行松弛变量均为0，说明对于最优解而言，两个约束均取等式约束；第4行松弛变量为40.000000，说明对于最优解而言，这个约束取不等式约束。

“DUAL PRICES”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、第4行（约束）对应的影子价格分别48.000000，2.000000，0.000000。

敏感性分析：

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.000000 8.000000

X2 64.000000 8.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 50.000000 10.000000 6.666667

3 480.000000 53.333332 80.000000

4 100.000000 INFINITY 40.000000

“GURRENT COEF“（敏感性分析）的“ALLOWABLE INCREASE”(允许的增加量)和“ALLOWABLE DECREASE”(允许的减少量)给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围：

X1的系数为（72-8，72+24）即（64，96）。并且，x1系数的允许范围需要x2的系数保持64不变。

X2的系数为（64-16，64+8）即（48，72）。同理，x2系数的允许范围需要x1的系数保持72不变。

“CURRENT RHS”则是对“影子价格”的进一步约束。

牛奶的需求量满足（50-6，50+10）即（44，60）。并且，牛奶的允许范围需要劳动时间保持480小时不变。

劳动时间的需求量满足（480-80，480+53）即(400,533)。同理，劳动时间的允许范围需要牛奶的用量保持50桶不变。

对附加问题的回答：

（1） 因为一桶牛奶的影子价格为48，35<48，所以应该进行这个投资。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多购买10桶牛奶。

（2） 因为一个小时的劳动时间的影子价格为2，所以付给临时工人的工资最多是每小时2。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多增加劳动时间53小时。

（3） 若每公斤A1的获利增加到三十元，则X1系数变为90，根据计算结果分析，X1的允许范围为（64，96）在允许范围内，所以不应该改变生产计划

问题二：

用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示如下：

五、 模型的优缺点分析

附件1模型源代码

max 72x1+64x2

st

2)x1+x2<50

3)12x1+8x2<480

4)3x1<100

附件2.模型答案

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3360.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 48.000000

3) 0.000000 2.000000

4) 40.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.000000 8.000000

X2 64.000000 8.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 50.000000 10.000000 6.666667

3 480.000000 53.333332 80.000000

4 100.000000 INFINITY 40.000000

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3360.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 48.000000

3) 0.000000 2.000000

4) 40.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.000000 8.000000

X2 64.000000 8.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 50.000000 10.000000 6.666667

3 480.000000 53.333332 80.000000

4 100.000000 INFINITY 40.000000

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/be2ea141814d2b160b4e767f5acfa1c7aa008274.html