2016兰州石化职业技术学院数学单招试题测试版（附答案解析）

限时：20分钟　满分：28分

1．(满分14分)已知f(x)＝2x－word/media/image1.gifx2，g(x)＝logax(a>0且a≠1)．

(1)过P(0,2)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；

(2)设h(x)＝f(x)－g(x)在定义域上为减函数，且其导函数y＝h′(x)存在零点，求实数a的值．

解：(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，

设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x，

∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－word/media/image2.gif，

∴切线方程：y－2x0＋word/media/image2.gif＝(2－x0)(x－x0)，

即y＝(2－x0)x＋word/media/image2.gif，

∵(0,2)在切线上，代入可得x0＝±2.

∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2.

(2)∵h(x)＝2x－word/media/image1.gifx2－logax在(0，＋∞)递减，

∴h′(x)＝2－x－word/media/image3.gif≤0在x>0时恒成立，

∵x>0，∴word/media/image4.gif≥2x－x2在x>0时恒成立．

∵x>0时，2x－x2∈(－∞，1]，∴word/media/image4.gif≥1，

∴0a≤1，①

又∵h′(x)＝2－x－word/media/image3.gif存在零点，

即方程ln a·x2－2ln a·x＋1＝0有根，

∴Δ＝4ln2a－4ln a≥0，∴ln a≥1或ln a<0，②

由①②知ln a＝1，∴a＝e.

2．(满分14分)如图，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)，圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线C1的焦点，点M是抛物线C1的准线与x轴的交点．N是圆C2上的任意一点，且线段|MN|的长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A，D两点，与C2交于B，C两点．word/media/image5.gif

(1)求C1与C2的方程；

(2)是否存在直线l，使kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝3word/media/image6.gif，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，说明理由．

解：(1)当点N为圆C2与x轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大，为word/media/image7.gifp，∴word/media/image7.gifp＝3⇒p＝2.

∴抛物线C1的方程为y2＝4x；

圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设直线l的方程为my＝x－1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)．

由word/media/image8.gif⇒y2－4my－4＝0，

∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝word/media/image9.gif＝1，

∴kOA＋kOD＝word/media/image10.gif＋word/media/image11.gif＝word/media/image12.gif＝word/media/image13.gif

＝－4 m，

由word/media/image14.gif

解得word/media/image15.gif或word/media/image16.gif.

∴Bword/media/image17.gif，Cword/media/image18.gif，

∴kOB＋kOC＝word/media/image19.gif＋word/media/image20.gif＝word/media/image21.gif＝－2m，

∵kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝3word/media/image6.gif，∴－6m＝3word/media/image6.gif，

∴m＝－word/media/image22.gif，此时直线l：－word/media/image22.gify＝x－1.

由word/media/image23.gif得y2＋2word/media/image6.gify－4＝0，

|AD|＝word/media/image24.gif|y1－y2|＝6，

|AB|＋|CD|＝2|BC|⇔|AD|＝3|BC|＝6，

∴|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，

∴存在直线l，它的方程为word/media/image6.gifx＋y－word/media/image6.gif＝0.

(二)

限时：20分钟　满分：28分

1．(满分14分)已知椭圆C：word/media/image25.gif＋word/media/image26.gif＝1(a>b>0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A1.

①求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；

②求△OA1B面积的取值范围．

解：(1)易得a＝2c，c＝1，则b＝word/media/image27.gif，

所以椭圆的标准方程为word/media/image28.gif＋word/media/image29.gif＝1.

(2)①证明：不妨设直线方程为l：x＝my＋4，

代入word/media/image28.gif＋word/media/image29.gif＝1，

得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有y1＋y2＝word/media/image30.gif，(*)

y1y2＝word/media/image31.gif，(**)

由A关于x轴的对称点为A1，得A1(x1，－y1)，

根据题设条件设定点为Q(t,0)，得kQB＝kQA1，

即word/media/image32.gif＝word/media/image33.gif，整理得t＝word/media/image34.gif＝word/media/image35.gif＝4＋word/media/image36.gif，

将(*)(**)代入得t＝1，则定点为Q(1,0)．

②由①中判别式Δ>0，解得m>2或m<－2，

而直线A1B过定点Q(1,0)，

所以S△OA1B＝word/media/image1.gif|OQ||yA1－yB|＝word/media/image1.gif|y1＋y2|

　　　 ＝word/media/image37.gif＝word/media/image38.gif.

记t＝|m|，f(t)＝word/media/image39.gif，易得f(t)在(2，＋∞)上为单调递减函数，得S△OA1B∈word/media/image40.gif.

2．(满分14分)设函数f(x)＝x2，g(x)＝aln x＋bx(a>0)．

(1)若f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)，求F(x)＝f(x)－g(x)的极小值；

(2)在(1)的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由；

(3)设G(x)＝f(x)＋2－g(x)有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G′(x0)值的符号．

解：(1)由word/media/image41.gif⇒word/media/image42.gif⇒word/media/image43.gif

F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－ln x－x，

利用导数的方法求得F(x)的极小值为F(1)＝0.

(2)因为f(x)与g(x)有一个公共点(1,1)，而函数f(x)＝x2在点(1,1)的切线方程为y＝2x－1，

下面验证：word/media/image44.gif都成立．

由于x2－(2x－1)＝(x－1)2≥0，

知f(x)≥2x－1恒成立；

设h(x)＝g(x)－(2x－1)＝ln x－x＋1，

h′(x)＝word/media/image45.gif－1＝word/media/image46.gif，

由h′(x)＝0得x＝1.

在(0,1)上，h′(x)>0，h(x)单调递增；

在(1，＋∞)上，h′(x)<0，h(x)单调递减．

又因为h(x)在x＝1处连续，所以h(x)≤h(1)＝0，

所以g(x)≤2x－1.

故存在k和m，使得f(x)≥kx＋m，g(x)≤kx＋m，

且k＝2，m＝－1.

(3)g′(x0)的符号为正，

因为G(x)＝x2＋2－aln x－bx有两个零点x1，x2，

则有word/media/image47.gif②－①得

xword/media/image48.gif－xword/media/image49.gif－a(ln x2－ln x1)－b(x2－x1)＝0，

即x2＋x1－b＝word/media/image50.gif.

于是G′(x0)＝2x0－word/media/image51.gif－b＝(x1＋x2－b)－word/media/image52.gif

　　　　　＝word/media/image50.gif－word/media/image52.gif

　　　　　＝word/media/image53.gifword/media/image54.gif.

当0<x1<x2时，令word/media/image55.gif＝t，则t>1，

G′(x0)＝word/media/image53.gifword/media/image56.gif.

设u(t)＝ln t－word/media/image57.gif，则u′(t)＝word/media/image58.gif>0，

所以u(t)在(1，＋∞)上为单调增函数，而u(1)＝0，

所以u(t)>0，

又因a>0，x2－x1>0，所以G′(x0)>0，

同理，当0<x2<x1时，同理可得G′(x0)>0，

综上所述，G′(x0)的符号为正．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bc046ded83c4bb4cf6ecd18c.html