全等三角形
一.选择题
1.（2015·湖南岳阳·调研）下列命题中，真命题是（ ）
A. 周长相等的锐角三角形都全等； B. 周长相等的直角三角形都全等；
C. 周长相等的钝角三角形都全等； D. 周长相等的等腰直角三角形都全等；
答案：D
2.（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=900，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B．
C．4 D．5
答案：C
3.（2015·福建漳州·一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块, 如图，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带（ ）去.
A．
B．
C． D．
和
答案：C
4．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
5.（2015·山东省东营区实验学校一模）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①②都正确
答案：D
6．(2015•山东东营•一模)已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①②都正确
答案：D
7．(2015•山东青岛•一模)如图2所示，在Rt
中，
，
平分
，交
于点D，且
，则点
到
的距离是：
（Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）6
答案：A
二.填空题
．(2015·江苏南菁中学·期中)如图，将□ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF.若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为 ▲ ．
第1题图
答案:
三.解答题
1. （2015·吉林长春·二模）
答案：由旋转可知，∠DAE=90°，AD=AE．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE． （4分）
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE. （6分）
2．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
答案：解：通过证△ABC≌△DEF，得∠ACB=∠DFE，说明BC∥EF．
3. (2015·北京市朝阳区·一模)已知：如图，E是BC上一点，AB=EC，AB∥CD， BC=CD．
求证：AC=ED．
答案：证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE. …………………………………………………………………1分
在△ABC和△ECD中，
4.（2015·广东潮州·期中）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
求证：△ABC≌△CDE
证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E …………………2分
又∵∠ACD＝∠B， ∴∠B＝∠D ……………………4分
又∵AC＝CE， ∴△ABC≌△CDE ……………………7分
5．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）已知：如图1，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，
试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．
答案：（本题满分10分）
证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，
∵在△AMD和△CMN中，，∴△AMD≌△CMN（ASA）……（2分）
∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形，………（4分）
∴CD=AN ………（5分）
② 四边形ADCN是矩形．………（1分）
理由如下 ∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC ∴MD=MC， ………（2分）
由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN，………（4分）
∴四边形ADCN是矩形．………（5分）
6．（2015•山东潍坊•第二学期期中）已知：如图2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，
连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你
的结论．
答案：（8分）证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．
∵AE = AF，∴．∴BE＝DF．（4分）
（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．[
∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即．∴
．∵OM = OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）
7.（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图3，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH；
（3）当AP=1时，求PH的长．
答案：（1）证明：∵ PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH． ----------------------4分
（2）证明：如图4，过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，
，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH． ---------------------------8分
（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，
即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4． ---------------------------12分
:z~zstep8.（2015·江西省·中等学校招生考试数学模拟）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若，且
，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：
；
（2）如图3，在非等腰中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问
是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
网]
解：（1）是等腰三角形，
，
，
又四边形ABCD是互补等对边四边形，
，
，
≌
，
，
又，
，
在中，
，
， 同理：
，
；
（2）如图，过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线于点G、F，
四边形ABCD是互补等对边四边形，
，
，
又，
，
又，
，
≌
，
，又
≌
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
． ]
命题思路：通过数学新定义考查等腰三角形的性质、三角形内角和与外角和、三角形全等等知识，增强推理论证能力，渗透特殊到一般、变中不变的数学思想．
9．（2015·山东省枣庄市齐村中学二模）（满分8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面积为16，求AC的长．
证明：略 ……………………………4分
（2）AC=6 ……………………………4分
10. ( 2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)（7分）在△ABC中，D是BC边的中点，EF分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE的形状，无需说明理由.
答案：（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD，............2分
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，.........................3分
在△BDF和△CDE中
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；..................5分
（2）四边形BFCE是矩形.......................7分
11．（2015·山东枣庄·二模）如图，在等腰三角形ABC中，CA = CB，∠ACB = 90°，点D、E是直线BC上两点且CD = BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．
（1）若AC = 2，CD = 1，求CM的值；
（2）求证：∠D =∠E．
答案：解：（1）∵CD=BE,CD=1 ∴BE=1
又∵AC=CB=2，∴CE=CB+BE=3
在Rt△ACE中
又∵CE⊥AE
∴
∴
4分
（2）
°，
°，
°
又∵BH⊥CB∴
7分
又∵△ABC为等腰直角三角形 ∴
又∵°，
°
10分
12．（2015山东·枣庄一摸）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G．求证：AE＝CG．
答案：证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°，
又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，∠CAE＝∠BCG，AC＝BC，∠ACE＝∠CBG，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG．
13.(2015•山东济南•一模)如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
①判断△OBC与△ABD全等，由等边△AOB和等边△CBD得到全等，△OBC≌△ABD，
理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中， {OB=AB∠OBC=∠ABDBC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS） 5分
②根据（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根据直角三角形30°，所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的
∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，[来
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，∴OE=√3，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，√3）.……7分
14．(2015·江苏南菁中学·期中)(本题满分8分)如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处).请按要求将图甲中的正方形ABCD、图乙中的平行四边形ABCD分别各自分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等.
注：图甲、图乙在答题卡上，分割线画成实线.
答案: (本题满分8分)
略(每张图各4分)
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