2018 - 2019高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积学案新人教A版必修2

1.3.2　球的体积和表面积

学习目标　1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．

知识点　球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；

2．球的体积公式V＝πR3.

1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．(　×　)

2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(　×　)

3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　√　)

类型一　球的体积和表面积

例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；

(2)已知球的体积为π，求它的表面积．

考点　柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点　与球有关的体积、表面积问题

解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，

所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.

(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，

所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.

反思与感悟　(1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．

(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．

跟踪训练1　(1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)

A．2∶3 B．4∶9 C.∶ D.∶

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．

考点　柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点　与球有关的体积、表面积问题

答案　(1)B　(2)

解析　(1)由两球的体积之比为8∶27，

可得半径之比为2∶3，

故表面积之比是4∶9.

(2)设大球的半径为R，由题意得πR3＝2×π×13，得R＝.

类型二　与球有关的三视图问题

例2　一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．

考点　球的表面积

题点　与三视图有关球的表面积计算问题

答案　4π

解析　由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.

反思与感悟　(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．

(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．

跟踪训练2　已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)

A.＋ B.＋ C.＋ D.＋

考点　组合几何体的表面积与体积

题点　柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积

答案　C

解析　由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得

V＝××3＋××1×1×1＝＋，故选C.

类型三　球的截面及切接问题

例3　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　)

A. cm3 B. cm3

C. cm3 D. cm3

考点　球的体积

题点　与截面有关球的体积计算问题

答案　A

解析　如图，作出球的一个截面，

则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．

设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，

∴R＝5.

∴V球＝π×53＝π(cm3)．

反思与感悟　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

跟踪训练3　用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b4caa500ce84b9d528ea81c758f5f61fb636284c.html