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专题二函数概念与基本初等函数第六讲函数综合及其应用

发布时间：2019-09-05 09:26:20 来源：文档文库

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专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ

第六讲函数的综合及其应用

一、选择题

1．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

2．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

3．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

word/media/image20_1.png

4．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为word/media/image21_1.png，第二年的增长率为word/media/image22_1.png，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

A．word/media/image23_1.png B．word/media/image24_1.png C．word/media/image25_1.png D．word/media/image26_1.png

二、填空题

5．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是．

① ② ③ ④

6．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是．

7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______．

word/media/image53_1.png

8．(2016年北京) 设函数．

若，则的最大值为____________________；

若无最大值，则实数的取值范围是_________________．

9．（2015四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时．

10．（2014山东）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点

关于点对称，若是关于

的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是____．

11．（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

12．（2014四川）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间

．例如，当，时，，．现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则．

其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

13．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

14．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

word/media/image117_1.png

(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

15．(2016年上海高考)已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

16．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型．

（）求的值；

（）设公路与曲线相切于点，的横坐标为.

请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；

当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．

17．（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为word/media/image144_1.png米，高为word/media/image145_1.png米，体积为word/media/image146_1.png立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000word/media/image147_1.png元（word/media/image147_1.png为圆周率）．