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用定义证明函数极限方法总结[1]

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用定义证明函数极限方法总结第1页共4页
用定义证明函数极限方法总结:
用定义来证明函数极限式limf(xc，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节
xa
不同。
方法1：从不等式f(xc中直接解出(或找出其充分条件xah(，从而得h(。
方法2：将f(xc放大成xa，解xa，得xah(，从而得


h(。
部分放大法：当
f(xc不易放大时，限定0xa1，得
f(xcxa，解xa，得：xah(，取min1,h(。
用定义来证明函数极限式limf(xc，方法：
x
方法1：从不等式f(xc中直接解出(或找出其充分条件xh(，从而得
Ah(。
方法2：将f(xc放大成xa，解xa，得xh(，从而得


Ah(。
部分放大法：当f(xc不易放大时，限定xA1，得f(xcxa，解

xa，得：xh(，取AmaxA1,h(。
平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。例1证明：lim(2x37。
x2
证明：0，要使：
(2x372x2，只要2x2，即0x2
取

2
，
2
，即可。
x212
。例2证明：lim2
x12xx13
x1x212x12
分析：因为，放大时，只有限制2
2xx132x1332x1


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0x11，即0x2，才容易放大。
证明：0，限制0x11，即0x2，要使；
x1x1x1x1x212x12
，，只要
32x2x132x1332x132x13
即0x13，取min(1,3，即可。
例3证明：lim1x1a，（a1）。
xa
2
2
证明：0，限制0xa
1a1a
1，要使：，所以x
22
1x21a2
x2a21x1a
2
2

xaxa1a
2

2xa1a
2
，
只要
2xa
1a1a21a2
，取min,，即可。，即0xa
22221a
x3,x1
例4设f(x，证明:limf(x1。
x1
2,x1
证明：当x1时，f(x1x31x1x2x1
限制0x11，则xx112，x2x17。0，要使：
f(x1x1x2x17x1，
只要7x1，即x1

7
，取min1,，当0x1时，有：
7
f(x1，
limf(x1
x1
说明：这里限制自变量x的变化范围0x11，必须按自变量x的变化趋势来设计，
xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！
错解：设x1，则x2x13，要使：
f(x1x1x2x13x1，只要0x1

3
，取min1,，

3


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当0x1时，有：f(x1。limf(x1。
x1
例5证明:lim
1
1。
x12x1
2x11
证明：考察，1
2x12x1
限制0x1
2x12x1112x1
111，则2x112x11，。0，要使：422
2x11
14x1，只要4x1，即x1，
42x12x1
1
44
1
1，2x1
取min,，当0x1时，有：lim
1
1。
x12x1
1，则4
说明：在以上放大f(xA（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1
11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22
1
2x112x1121m0（如果是限制0x1或0x11，则不
2
例6证明:lim证明：考察
能达到以上目的）。
x
2。
x24x7
7x2x
，2
4x74x7
17
仅在x的邻域内无界，所以，限制
4x74
171，则4x74x2114x2。0x2（此邻域不包含x点）
842
0，要使：
7x27x2x
只要14x2，即x2，214x2，
144x74x714x2
取min,
x1
2，，当时，有：0x2
4x7814
lim
x
2。
x24x7
x
x0
例7用定义证明极限式：lima1，（a1）证明：0（不妨1），要使：
ax11ax1loga1xloga1（由对数函数


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f(xlogax是单调增函数）。于是，取minloga1,loga10，
当0x0时，有：ax1。故limax1。证毕
x0
例8设f(x0，limf(xA，证明：lim
xx0
n
xx0
f(x
n
A，其中n2为正整数。
证明：（用定义证明）因为，f(x0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，
0，由limf(xA，知：0，当0xx0时，有：f(xA
xx0

n
f(xA
n
f(xA

n
f(x

n1


n
f(x
A
n2
nn


n
f(x
A
n
n2

A
n
n1


f(xA
A
nn
n1


A
n
n1
，故：lim
n
xx0
f(xA。
当A0时：0，由limf(x0，知：0，当0xx0时，有：f(x
xx0
f(x0n，故：lim
n
xx0
f(x0。证毕



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/af83112a2dc58bd63186bceb19e8b8f67d1cef88.html

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