河北省衡水市2019届高三数学下学期二模考试试题文（含解析）

2018—2019学年度第二学期二模考试

高三年级数学试卷（文科）

一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.集合，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意先求出集合A和集合B，再求A∪B

【详解】由|x﹣1|≤3得到﹣2≤x≤4，即A＝[﹣2，4]，

由2x+1≥4＝22得到x≥1，即B＝[1，+∞），

则A∪B＝[﹣2，+∞），

故选：D．

【点睛】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答

2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）

A. B. 1 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.

【详解】虚部为-1，

故选A.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

3.已知是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（ ）

A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件

C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】

由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解

【详解】因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，

由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，

即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，

故选：C．

【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．

4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）

A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍

C. 2015年与2018年艺体达线人数相同

D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

【答案】D

【解析】

【分析】

设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.

观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.

【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.

对于选项A.2015年一本达线人数word/media/image22_1.png.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；

对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；

对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；

对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.

【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．

5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数为（ ）

A. 120 B. 84 C. 56 D. 28

【答案】B

【解析】

运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，

i=2,n=3,s=4,2＜7，

i=3,n=6,s=10,3＜7，

i=4,n=10,s=20,4＜7，

i=5.n=15,s=35,5＜7，

i=6,n=21,s=56,6＜7，

i=7,n=28,s=84,7≮7,

s=84.

故选C.

6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

word/media/image37_1.png分析】

利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．

【详解】由题意可得：，解得a＝4，b＝3，

因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．

故选：A．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

7.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量的加减运算求解即可

【详解】据题意，．

故选：B．

【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题

8.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（ ）

A. 5 B. 3 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.

【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.

【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.

9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点在俯视图上的对应点为，则与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．

【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；

取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，

△PAM中，PA＝2，AM＝PM，

∴cos∠PAM，又异面直线所成角为锐角

即PA与BC所成角的余弦值为．

故选：B．

【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题．

10.如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）

A. 37.5分钟 B. 40.5分钟 C. 49.5分钟 D. 52.5分钟

【答案】A

【解析】

【详解】分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．

详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin，

令sin=1，解得： =2kπ+，x=12k+，

k=0，1，2，3．

∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．

故选：A．

点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.

11.定义在R上的函数，且对任意的不相等的实数有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

∵函数满足，

∴函数为偶函数．

又，

∴，

∴．

由题意可得函数在上单调递增，在上单调递减．

∴恒成立，

∴恒成立，

即恒成立．

令，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴．

令，则，

∴在上单调递减，

∴．

综上可得实数的取值范围为．选D．

点睛：解答本题的两个注意点

（1）要根据条件中给出的函数的奇偶性的性质，将问题转化为上恒成立的问题，去掉绝对值后转化为不等式恒成立求解．

（2）解决恒成立问题时，选用分离参数的方法进行，转化为求具体函数的最大值或最小值的问题，然后根据导数并结合函数的单调性去解即可．

12.已知四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面相切，则球直径的最大值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】D

【解析】

如图所示:

取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以

因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则

即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.

点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.

二、填空题（把答案在答题纸的横线上）

13.若函数的零点为，则________.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题意，由函数零点的定义可得f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，解可得a的值，即可得答案．

【详解】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，

则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，

解可得a＝3，

故答案为：3

【点睛】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．

14.若满足约束条件，则的最小值为_____

【答案】6

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，

化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，

由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立得A（2,2），故z的最小值为6

故答案为6

【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15.已知双曲线的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，的一个内角为，则的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．

【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，

∵△APQ的一个内角为60°

∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°⇒PF＝AF＝a+c，

⇒PF1＝3a+c，

在△PFF1中，由余弦定理可得．

⇒3c2﹣ac﹣4a2＝0⇒3e2﹣e﹣4＝0⇒，

故答案为：．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．

16.在平面边形中，，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】

分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．

详解：设，在中，由正弦定理，得

，即，

即，

由余弦定理，得；

在中，由余弦定理，得

，

，其中，

则，即的最小值为．

点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；

（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：

，其中．

三、解答题（解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.已知数列为等差数列，，且依次成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若，求的值.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）求得bn（），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n．

【详解】解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，

a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，

a1，a6，a21依次成等比数列，可得

a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），

解得a1＝5，

则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；

（2）bn（），

即有前n项和为Sn（）

（），

由Sn，可得5n＝4n+10，

解得n＝10．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．

18.如图1所示，在等腰梯形中，，点为的中点.将沿折起，使点到达的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为棱的中点.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接，交于点，连接，易知底面是平行四边形，则为中点，又是中点，可知，则结论可证.

（2）先证明是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得平面，则由（1）可知平面，则为三棱锥的高，底面的面积容易求得，根据公式求三棱锥的体积.

【详解】（1）在平面图中，

因为且，

所以四边形是平行四边形；

在立体图中，

连接，交于点，连接，所以点是word/media/image224_1.png中点，又因为点为棱的中点，

所以，因为平面，平面，

所以平面；

（2）在平面图中，

因为是平行四边形，所以，因为四边形是等腰梯形，

所以，所以，因为，所以；

在立体图中，，

又平面平面，且平面平面，平面

所以平面，

由（1）知，所以平面，

在等腰直角三角形中，因为，所以，

所以，又，

所以.

【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.

19.已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.

（1）求和的标准方程；

（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.

【答案】（1）,；（2）证明见解析.

【解析】

分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．

（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．

详解：（1）设的标准方程为，则．

已知在直线上，故可设．

因为关于对称，所以

解得

所以的标准方程为．

因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．

（2）设的斜率为，那么其方程为，

则到的距离，所以．

由消去并整理得：．

设，则，

那么．

所以．

所以，即．

点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.

（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.

①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；

②估计日利润在区间内的概率.

【答案】(1) (2) ①698.8元 ②0.54

【解析】

【分析】

（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.

【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：

化简得：

（2）①由频率分布直方图得：

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：

（元）

②由于时，

显然在区间上单调递增，

，得；

，得；

日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：

【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.

21.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.

【详解】（1）

①当时，

令，解得，，且

当时，；当时，

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是和；

②当时，

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；

③当时，令，解得，，并且

当时，；当时，.

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；

④当时，，所以的单调递增区间是

⑤当时，令，解得，，且

当时，；当时，

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是和

（2）由及（1）知，

①当时，，不恒成立，因此不合题意；

②当时，需满足下列三个条件：

⑴极大值：，得

⑵极小值：

⑶当时，

当时，，，故

所以；

③当时，在单调递增，

所以；

④当时，

极大值：

极小值：

由②中⑶知，解得

所以

综上所述，的取值范围是

【点睛】本题考查利用导数讨论含有参数的函数的单调性问题以及导数恒成立问题，难点在于需要根据的不同范围，准确得到函数的单调性.讨论含有参数的函数单调性，通常结合二次函数图像确定二次函数的符号，主要从以下三个角度考虑：①开口方向；②判别式；③根的大小关系.

22.在平面直角坐标系中，以原点为极点.以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求.

【答案】（Ⅰ）C:；直线的直角坐标方程（Ⅱ）8

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；

（Ⅱ）先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，得到，再由直线的参数方程代入，得到，进而可得出结果.

【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；

即

的直角坐标方程为：

（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），

将其代入曲线的普通方程并整理得，

设两点的参数分别为，则

因为为的中点，故点的参数为，

设点的参数分别为，把代入整理得

所以.

【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程word/media/image224_1.png互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.

23.若关于的不等式在实数范围内有解.

（1）求实数的取值范围；

（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明

【解析】

【分析】

（Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即word/media/image397_1.png成立，求出最大值即可；

（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明.

【详解】解：（Ⅰ）因为所以

又因为

所以

（Ⅱ）由（1）可知，,则

方法一：

方法二：利用柯西不等式

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/af68eff60166f5335a8102d276a20029bc6463d8.html