第3讲 基本不等式及其应用
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是
( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＜1(x∈R)
解析 当x＞0时，x2＋≥2·x·
＝x，所以lg
≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有
＝1，故选项D不正确．
答案 C
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是
( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤
，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案 D
3．(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·
的最小值为
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 ∵a，b都是正数，∴
＝5＋
＋
≥5＋2
＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.
答案 C
4．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是
( )
A.≤
B.
＋
≤1
C.≥2 D．a2＋b2≥8
解析 4＝a＋b≥2 (当且仅当a＝b时，等号成立)，即
≤2，ab≤4，
≥
，选项A，C不成立；
＋
＝
＝
≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
答案 D
5．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋
＝
，则ab的最小值为
( )
A. B．2 C．2
D．4
解析 依题意知a＞0，b＞0，则＋
≥2
＝
，当且仅当
＝
，即b＝2a时，“＝”成立．因为
＋
＝
，所以
≥
，即ab≥2
，所以ab的最小值为2
，故选C.
答案 C
6．(2017·咸阳模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋
的最大值为
( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
解析 ＋
＝
＝
＝1＋
＝1＋
≤1＋
＝4－2
，当且仅当
＝
，即x2＝2y2时取等号．故选D.
答案 D
7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是
( )
A. B.
C．2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
8．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋
，则
＋
的最小值为
( )
A．4 B．2 C．8 D．16
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋
＝
，得ab＝1，
则＋
≥2
＝2
.当且仅当
＝
，即a＝
，b＝
时等号成立．故选B.
答案 B
二、填空题
9．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10．(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋
的最大值为________．
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋
＝－(m＋n)
＝－
≤－2－2
＝－4，当且仅当m＝n＝－
时，
＋
取得最大值－4.
答案 －4
11．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析 ＝
，
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤
＝
，
即的最大值为
，故a≥
.
答案
12．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2
＝20，当且仅当5x＝
，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
答案 2 20
13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，
＋
－
的最大值为
( )
A．0 B．1 C. D．3
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝
＝
≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以
＋
－
＝
＋
－
＝－
2＋1≤1.
答案 B
14．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则
＋
的最小值为________．
解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1,1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2
，故ab≤
，故
＋
≥
≥8，当且仅当a＝2b＝
时等号成立，故
＋
的最小值为8.
答案 8
15．(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________．
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4 (当且仅当a＝b时取等号)，令t＝
(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，则0<ab≤1，所以ab的最大值为1.
答案 1
16．正数a，b满足＋
＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 因为a＞0，b＞0，＋
＝1，所以a＋b＝(a＋b)
＝10＋
＋
≥10＋2
＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案 [6，＋∞)
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ae9dde46bfd5b9f3f90f76c66137ee06eff94e9c.html
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