利用参数方程解距离、面积最值或范围问题通关2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透（Word版含解析）

1．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）．现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到．

（2）其代入得，

则

所以．

2．已知曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最值．

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为

【解析】试题分析：（1）根据参数方程和极坐标化普通方程化法即易得结论的普通方程为；直线的普通方程为．（2）求点到线距离问题可借助参数方程，利用三角函数最值法求解即可故设， ．即可得出最值

（2）由于为曲线上任意一点，设，

由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为

．

∵ ，

∴ ，即 ，

故点到直线的距离的最大值为，最小值为．

3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．

（1）求点，，的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求点到直线距离的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：

（1）由题意可得点的直角坐标，点的极坐标为，直角坐标为，点的极坐标为，直角坐标为．%网

（2）由题意可得直线的方程为，利用点到直线距离公式可得点到直线距离结合三角函数的性质可得．

（2）直线的方程为，

设点 ，则点到直线距离

（其中，），

因为，所以，所以，所以．

4．平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．

【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．

【解析】试题分析：（1）先利用加减消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，再利用，得直线的极坐标方程，最后根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）先根据点斜式写出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求．

试题解析：（1）将，代入直线方程得，

由可得，

曲线的直角坐标方程为．

5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：（1）消去参数把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）把曲线把曲线的参数方程为参数），代入．得，设是对应的参数，进一步利用根和系数的关系求出结果．

6．选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）若是曲线上的动点，为线段的中点．求点到直线的距离的最大值．

【答案】（1）． ．（2）．

【解析】试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数的最值求出结果．

试题解析：（1）∵直线的极坐标方程为，即．

由，，可得直线的直角坐标方程为．

将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为．

7．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求．

【答案】(1)见解析;(2)．

【解析】试题分析：（1）先根据加减消元得直线l的普通方程，再根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线参数方程标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得，最后利用韦达定理代入求值．

试题解析：（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为．

又由得，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2） 过点且与直线平行的直线的参数方程为

将其代入得，

则，

所以．

8．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，并判断曲线是什么曲线；

（2）设直线与曲线相交与两点，当，求的值．

【答案】(Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)．

【解析】试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；

（2）将直线代入椭圆得到，

所以，解得。

9．已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点．

(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)设曲线与曲线相交于，两点，求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由题意，将曲线的极坐标方程两边同时乘于极径，由，，即将其转化为普通方程；由曲线的参数方程经过消参，即可求得曲线的普通方程．（2）由（1）易知曲线为圆，为直线，利用直线参数方程中参数的几何意义，将问题转化为的值，由此可联立直线参数方程与圆的方程消去，由韦达定理，从而问题可得解．

试题解析：(Ⅰ)，，

，

的直角坐标方程为:

，

的普通方程为

（Ⅱ）将

得：，，

由的几何意义可得：

10．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设，直线交曲线于两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．

【答案】（Ⅰ），曲线：；（Ⅱ）或．

【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线的参数方程消去参数可得普通方程，利用转化公式可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数t的几何意义求解，并结合三角函数的知识可得当时，最大，此时最大．然后利用参数方程可得点的坐标．

（Ⅱ）设直线上的三点所对应的参数分别为，

将代入，

整理得，

则，

11．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值

【答案】(1);(2)．

【解析】试题分析：由得：，即可求得曲线的直角坐标方程，消去参数得直线的普通方程

将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程中可得关于的二次方程，由，成等比数列，可得，变形后代入韦达定理可得关于的方程，解出即可得到答案

解析：(1)由得：

∴曲线C的直角坐标方程为： (a > 0)

由消去参数t得直线l的普通方程为

12．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数)．

(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；

(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值．

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．

【解析】试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互换公式，可得直线的直角坐标方程为，再由点到直线的距离公式及辅助角公式可求得最值。（2）直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程为．由参数t的几何意义可得。

试题解析：(Ⅰ)由直线过点可得，故，

则易得直线的直角坐标方程为

根据点到直线的距离方程可得曲线上的点到直线的距离

，

13．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知，直线与曲线交于，两点，若，求的值．

【答案】（Ⅰ），．

（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，即可得到直线的普通方程，在利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，求得，进而得到，再由题设，即可求解的值．

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立并整理得，

设点，分别对应参数，，则，恰为上述方程的根，

由可得，得．

则，，所以，

由，得，

即，解得或（舍去）．

故．

14．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．

（1）求的值及直线的普通方程；

（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．

【答案】（1）见解析．（2）．

【解析】试题分析：（1）将，代入上式并化简得，所以，又直线的普通方程为，将焦点代入得得，所以直线的普通方程为；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．

（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．

15．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．

（I）求曲线和的普通方程；

（II）设，若曲线和交于两点，求及的值．

【答案】（I）曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；（II）．

【解析】试题分析：

（I）由参数方程消去参数可得曲线和的普通方程．（II）结合（I）中的结论，利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．

（II）将（为参数）代入整理得

，

设对应参数分别为，

则，

∴，

．

16．已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为： (为参数)，点

（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值．

【答案】（1），（2）3

【解析】试题分析：（1）利用∴，将极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数可得普通方程；

（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用求解即可．

∴的普通方程为

17．在平面直角坐标系中，圆，把圆上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，且倾斜角为，经过点的直线与曲线交于两点．

（1）当时，求曲线的普通方程与直线的参数方程；

（2）求点到两点的距离之积的最小值．

【答案】(1)的方程为，的参数方程是（是参数）．(2)．

【解析】试题分析：由圆上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，代入点坐标求出普通方程，将时代入，求直线的参数方程(2)将参数方程代入利用公式求出到两点的距离之积的最小值。

解析：（1）设圆上任意一点的坐标为，曲线上一点的坐标为,

根据题意，得，即．

又点在圆上，

所以，

即曲线的方程为，

由题知，，

所以直线的参数方程是（是参数）．

18．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；

（2）设是曲线上的一动点，求到直线的距离的最小值．

【答案】(1)见解析;(2)．

【解析】试题分析：（1）消去参数，即可到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线的距离公式，即可表示出点到直线的距离，即求解距离的最值．

试题解析：

（1）由得，

故曲线的普通方程为．

由，及，，

得．

故直线的直角坐标方程为．

19．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；

（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）或．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由可将的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆；

（Ⅱ）将代入整理得，由，得，利用韦达定理求解即可．

试题解析：

（Ⅰ）由得，所以

将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆．

20．选修4 — 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．

（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与曲线相交于两点，若，求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】试题分析：

（1）将直线的参数方程消去参数可得普通方程；先将曲线C的极坐标方程变形，然后将代入可得直角坐标方程．（2）将直线的参数方程代入圆的方程，再根据一元二次方程根与系数的关系，并结合参数方程中参数的几何意义求解．

（2）将代入中，

整理得，

设两点对应参数分别为，

则，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，即，

解得，符合题意．

∴．

21．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的直角坐标方程，并写出圆心和半径；

（2）若直线与圆交于两点，求的最大值和最小值．

【答案】(1)见解析;(2)的最大值为，最小值为．

【解析】试题分析：（1）根据，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，进而得到圆心和半径；（2）把直线的参数方程代入圆的标准方程，得，利用根与系数的关系表示，从而得到最值．

（2）把直线的参数方程代入圆的标准方程，

得，

整理得，

，

设两点对应的参数分别为，

则，．

所以．

因为，

所以，

即的最大值为，最小值为．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线和的公共点的极坐标；

（2）若为曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值．

【答案】(1)，，， (2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把曲线化成直角坐标方程，再解方程组得到两曲线交点的坐标，再把交点直角坐标化成极坐标． (2)第（2）问，利用参数方程设点，再求出到直线的距离，最后利用三角函数求它的最大值．

所以其极坐标分别为，，，．

23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，且），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）若直线经过圆的圆心，求直线的倾斜角；

（2）若直线与圆交于，两点，且，点，求的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：

（1）由题知，直线经过定点，且直线过圆心，由斜率公式可得直线的斜率为，则倾斜角为．

（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，设，两点对应的参数分别为，，由韦达定理结合直线参数方程的几何意义可得，结合角的范围和三角函数的性质可得的取值范围为．

试题解析：

（1）由题知，直线经过定点，

圆的直角坐标方程为，圆心为，

∴直线的斜率为，

故直线的倾斜角为．

24．在平面直角坐标系中，直线的方程为以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)写出直线的一个参数方程与曲线的直角坐标方程；

(2)已知直线与曲线交于两点，试求中点的坐标．

【答案】（1），；（2）．

【解析】试题分析：(1)由直线的方程．令．可得直线的一个参数方程

曲线的极坐标方程为．，则,由极坐标与直角坐标的互化公式即可得到曲线的直角坐标方程；

(2)将代入得．

设对应的参数为．由此可求中点的坐标．

试题解析：(1)直线的方程,

．

令．

直线方程的一个参数方程为参数)

由题意可得,

即，得曲线的直角坐标方程为．

25．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，，求的取值范围．

【答案】(1);(2)．

【解析】试题分析：（1）由，可把曲线的极坐标方程为转化为，化成标准形式即可；（2）将直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程联立，得，整理得，

∴，结合正弦函数的有界性，即可得到的取值范围．

26．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；

（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值．

【答案】（1），（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据伸缩公式可求得曲线的普通方程，再普通方程与参数方程的互换公式进行转换，从而求出曲线的参数方程，同理可根据互换公式，将曲线的极坐标方程转化为参数方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以点为圆心，半径的圆，则可任取曲线上的点，由两点间的距离公式，求出点到圆心的距离，从而求出，从而问题可得解．

（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离

，

∵，∴当时，．

∴．

27．选修4-4：坐标系与参数方程

椭圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的方程为．

（1）求出直角坐标系中的方程和椭圆的普通方程；

（2）椭圆上有一个动点，求到的最小距离及此时的坐标．

【答案】(1)见解析;(2),．

【解析】试题分析：（1）根据，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把椭圆的参数方程转化为普通方程；（2）利用点到直线公式得

利用正弦型函数的有界性求最值即可．

28．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是．以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．

【答案】（1）（2）或．

【解析】试题分析：（1）由曲线的极坐标方程得，根据，，，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到圆的方程，得，结合韦达定理和弦长公式即可求出直线的倾斜角的值．

试题解析：（1）由得

∵，，，

∴曲线的直角坐标方程为，即．

（2）将代入圆的方程，化简得．

设两点对应的参数分别为、，则

∴．

∴

∵

∴，即或．

29．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为，曲线C的参数方程为(α为参数)．

(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；

(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．

【答案】(1)见解析;(2)．

【解析】试题分析：（1）根据参数方程转化为直角坐标的公式得到曲线的直角坐标方程；（2）用参数形式表示出点Q的坐标，根据点到直线的距离写出表达式，由化一公式求得最值．

(2)直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0，

曲线C的参数方程为 (α为参数)，

设Q(2cos α，－＋2sin α)，则M，

故点M到直线l的距离

d＝＝≥＝－1，

∴点M到直线l的距离的最小值为－1．

30．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．

【答案】（1），；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即得到曲线的直角坐标方程；

由直线的参数方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，得到，，利用弦长公式，得到的长，再利用点到直线的距离公式求的原点到直线的距离，即可求解三角形的面积．

（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），

代入，得，

设，两点对应的参数分别为，，

则，，

所以，

因为原点到直线的距离，

所以．

31．在直角坐标系中，直线．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线的极坐标方程为，．

（1）求曲线的参数方程；

（2）求曲线上一点到直线的距离的最小值及此时点的坐标．

【答案】(1)（为参数且）；(2)答案见解析．

【解析】试题分析：(1)把曲线的极坐标方程化为普通方程，进而转化为曲线的参数方程；(2) 设，利用点到直线距离表示目标函数，结合正弦型函数的图象与性质求得最小值及此时点的坐标．

（2）设，

则到的距离

又，∴当时，点的坐标为

点到直线的距离的最小值为．

32．选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的直角坐标方程及直线的参数方程；

（2）设直线与圆的两个交点分别为，，求证：．

【答案】（1）圆的直角坐标方程为．直线的参数方程为（为参数）．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线参数方程标准形式写直线的参数方程；（2）根据参数几何意义得，联立直线参数方程与圆方程，根据韦达定理化简证得结论．

（2）将直线的参数方程代入圆：，得，

设，两点对应的参数分别为，，

则，，

所以．

33．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系． 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线相交于两点，求．

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：

34．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且．

（1）求的值；

（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析．

【解析】试题分析：（1），先将直线极坐标方程化为直角坐标方程，再由条件得直线过圆的圆心，解得的值； (2）代入消元得曲线的普通方程，设直线参数方程标准形式，代入，由韦达定理以及参数几何意义得．

35．选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆锥曲线，(为参数)和定点，是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线极坐标方程；

（2）是曲线上任意一点，求到直线距离的最值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）把的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程；得到的直角坐标方程，利用化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点

由点到直线的距离公式得点到直线距离的距离为，根据正弦函数的值域求得点到直线的距离的最大值和最小值．

试题解析：（Ⅰ）曲线，

的直角坐标方程为

，所以直线的极坐标方程为

（Ⅱ）到直线的距离

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2af38723640e52ea551810a6f524ccbff121caa1.html