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【考纲解读】
【知识清单】
1.直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为
．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线
与x轴平行或重合时,
,
.
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为
.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，
越大，斜率越大；
（2）当word/media/image12_1.png时，
word/media/image13_1.png越大，斜率越大.
2.直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线word/media/image14_1.png经过点
word/media/image15_1.png，且斜率为
word/media/image16_1.png，则直线
word/media/image14_1.png的方程为：
word/media/image17_1.png.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线word/media/image14_1.png过点
word/media/image18_1.png，则直线
word/media/image14_1.png的方程为：
word/media/image19_1.png.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线word/media/image14_1.png过两点
word/media/image20_1.png其中
word/media/image21_1.png，则直线
word/media/image14_1.png的方程为：
word/media/image22_1.png.这个方程叫做直线的两点式方程.
当word/media/image23_1.png时，直线与
word/media/image24_1.png轴垂直，所以直线方程为：
word/media/image25_1.png；当
word/media/image26_1.png时，直线与
word/media/image27_1.png轴垂直，直线方程为：
word/media/image28_1.png.
特别地，若直线word/media/image14_1.png过两点
word/media/image29_1.png，则直线
word/media/image14_1.png的方程为：
word/media/image30_1.png，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于word/media/image31_1.png的二元一次方程
word/media/image32_1.png（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率word/media/image33_1.png，截距
word/media/image34_1.png.
【重点难点突破】
考点1 直线的倾斜角与斜率
【1-1】【2018届重庆市抽测（三）】已知直线的倾斜角为
，则
A． B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题设有，
.
故选A.
【1-2】【2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第三次月考】已知直线过word/media/image45_1.png两点，且倾斜角为
word/media/image46_1.png，则
word/media/image47_1.png=（ ）
A． 3 B． word/media/image48_1.png C． 5 D．
word/media/image49_1.png
【答案】A
word/media/image50_1.png
【领悟技法】
1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；
2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．
【触类旁通】
【变式一】直线word/media/image51_1.png的倾斜角为（ ）
A． word/media/image52_1.png B．
word/media/image53_1.png C．
word/media/image54_1.png D．
word/media/image55_1.png
【答案】D
【变式二】已知word/media/image57_1.png两点，直线
word/media/image58_1.png过点
word/media/image59_1.png且与线段
word/media/image60_1.png相交，直线
word/media/image61_1.png的斜率
word/media/image62_1.png的取值范围是 .
【答案】word/media/image63_1.png
【解析】如下图，直线word/media/image64_1.png的斜率为
word/media/image65_1.png，直线
word/media/image66_1.png的斜率为
word/media/image67_1.png.由图可知直线
word/media/image61_1.png的斜率
word/media/image62_1.png的取值范围是
word/media/image63_1.png.
word/media/image68_1.png
word/media/image69_1.png
【综合点评】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用word/media/image70_1.png求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
考点2 直线的方程
【2-1】【2018届黑龙江省伊春市第二中学第一次月考】已知直线经过点，且斜率为
，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】直线经过点，且斜率为
，则
即
故选A
【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线word/media/image58_1.png过线段AB的中点，且在
word/media/image78_1.png轴上的截距是它在
word/media/image79_1.png轴上的截距的2倍.求直线
word/media/image61_1.png的方程．
【答案】word/media/image80_1.png
word/media/image81_1.png
【领悟技法】
求直线方程的常用方法有
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
【触类旁通】
【变式一】直线word/media/image82_1.png过点
word/media/image83_1.png，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线
word/media/image82_1.png的方程.
【答案】word/media/image84_1.png或
word/media/image85_1.png.
【解析】若直线在两坐标轴上的截距都为word/media/image86_1.png，即直线
word/media/image82_1.png过原点，则直线
word/media/image82_1.png的斜率为
word/media/image87_1.png，所以直线
word/media/image82_1.png方程为：
word/media/image84_1.png.
若直线在两坐标轴上的截距都不为word/media/image88_1.png，则可设为
word/media/image89_1.png．由截距式方程可得，直线
word/media/image82_1.png的方程为：
word/media/image90_1.png，即
word/media/image91_1.png.因为直线
word/media/image82_1.png过点
word/media/image83_1.png，所以
word/media/image92_1.png.
所以直线word/media/image82_1.png方程为：
word/media/image93_1.png，即所以直线
word/media/image82_1.png方程为：
word/media/image85_1.png.
【变式二】将直线word/media/image94_1.png绕点
word/media/image95_1.png按逆时针方向旋转
word/media/image96_1.png，求所得直线的方程.
【答案】word/media/image97_1.png
word/media/image98_1.png
【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.
【易错试题常警惕】
易错典例：设直线l的方程为word/media/image99_1.png．
(1)若word/media/image100_1.png在两坐标轴上截距相等，求
word/media/image101_1.png的方程；
(2)若word/media/image102_1.png不经过第二象限，求实数
word/media/image103_1.png的取值范围．
易错分析：易忽视截距均为word/media/image104_1.png的情况而失解．
正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴word/media/image105_1.png，方程即为
word/media/image106_1.png.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，
∴word/media/image107_1.png＝
word/media/image108_1.png，即
word/media/image109_1.png方程即为
word/media/image110_1.png.综上，
word/media/image111_1.png的方程为
word/media/image112_1.png.
(2)将word/media/image113_1.png的方程化为
word/media/image114_1.png
∴word/media/image115_1.png或
word/media/image116_1.png,
word/media/image117_1.png
综上可知word/media/image118_1.png的取值范围是
word/media/image119_1.png．
温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为word/media/image104_1.png的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：
【典例】【2018届北京市西城区第13中学高三上期中】已知直线word/media/image120_1.png经过点
word/media/image121_1.png．
（I）点word/media/image122_1.png到直线
word/media/image123_1.png的距离为
word/media/image124_1.png，求直线
word/media/image125_1.png的方程．
（II）直线word/media/image126_1.png在坐标轴上截距相等，求直线
word/media/image127_1.png的方程．
【答案】（I）word/media/image128_1.png或
word/media/image129_1.png；（II）
word/media/image130_1.png或
word/media/image131_1.png.
word/media/image132_1.png
word/media/image133_1.png，
解出word/media/image134_1.png，
整理得word/media/image135_1.png．
word/media/image136_1.png
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ab92ad757dd184254b35eefdc8d376eeafaa1750.html
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