高中数学必修二第二章经典练习题

高一数学必修二第二章经典练习题

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明

1. 在空间，下列哪些命题是正确的（　　）．

①平行于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行

③平行于同一个平面的两条直线互相平行

④垂直于不一个平面的两条直线互相平行

A．仅②不正确　　　　B．仅①、④正确

C．仅①正确　　　　　D．四个命题都正确

2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（ ）

A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线

C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条

3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形 （ ）

A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形

4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)

A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

5. 若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（ ）

A． 相交 B． 异面 C． 平行 D．异面或相交

6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　)

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个

7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（ ）

A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形

C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形

8. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为( )

A. B. C. D.

9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是 （ ）

A． B。 C。 D。

11. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )

A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

12. 已知直线 、，平面、，且，，则是的

.充要条件 .充分不必要条件

.必要不充分条件 .既不充分也不必要条件

13. 设表示两条直线，表示两个平面，下列命题中是真命题的是 （ ）

A． B．

C． D．

14. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）

16. 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ）

A B C D

17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（ ）

A．1 B．3 C．4 D．1或4

18. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是(　　)

A．若a，b与α所成角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥b

C．若a？α，b？β，a⊥b，则α⊥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

19. 如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )

A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条

20. 已知AA/是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任意两点，那么线段AA/与EF的长度关系是 （ ）

A EF/ B EF≤AA/ C EF＞AA/ D EF≥ AA/

21. 已知 、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（ ）

A．若∥，，则 B．若，，则

C．若，，则∥ D．若∥，，则∥

22. 三个角是直角的四边形（ ）

A．一定是矩形

B．一定是空间四边形

C．是四个角为直角的空间四边形

D．不能确定

23. 如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1—BD—C的大小为（ ）

Ａ．30° B．45°　C．60° D．90°

24. 直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（ ）

A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有

25. 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是（ ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交

26. 直线与平面平行的充要条件是（ ）

A．直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线不相交

C．直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直线平行

27. 下列四个结论：

⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）

A． B． C． D．

28. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．则以下命题中错误的是（ ）

A．点是的垂心 B．垂直平面

C．的延长线经过点 D．直线和所成角为

29. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）

A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形

30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角。以上命题正确的有 （ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D3个

32. 对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线,使与 ( )

(A)平行 （B）相交

(C)垂直 (D)互为异面直线

33. 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）

A． 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B． 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交

C． 若a//b，b//c，则a//c D． 若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线

34. 在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为O，E为PC的中点，则直线AP与OE的位置关系是( )

A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能

35. 三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)

A．7 B．7.5

C．8 D．9

36. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）

（A） (B) (C) (D)

37. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）

A． ，，则

B． a，，，，则

C． ，，则

D． 当，且时，若∥，则∥

38. 与空间四点距离相等的平面共有（ ）

A．3个或7个 B．4个或10个

C．4个或无数个 D．7个或无数个

39. 已知直线l，m与平面满足，，则有( )

（A）且 （B）且

（C）且 （D）且

40. 在棱长为1的正方体ABCD-中，与平面ABCD所成的角为( )

A、 B、 C、 D、

第II卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明

42. 已知三个平面α、β、γ，α∥β∥γ，a,b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A、B、C三点，b与α、β、γ分别交于D、E、F三点，连结AF交平面β于G，连结CD交平面β于H，则四边形BGEH必为__________．

45. 已知平面和直线，给出条件：

①；②；③；④；⑤.

（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.

（填所选条件的序号）

47. 如图，直角梯形中，， ，，，为的中点，将沿折起，使得，其中点在线段内.

（1）求证：平面；

（2）问(记为)多大时, 三棱锥的体积最大? 最大值为多少?

48. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO面ABCD,E是PC的中点.

求证:(1)PA∥平面BDE

(2)平面PAC平面BDE

49. 如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2.

（ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

（Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积；

（Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．

50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,

,的中点．

（1）证明：四点共面；

（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．

参考答案

一、单项选择

1.【答案】B

【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线平面，，，且，则，，即平面内两条直交直线，都垂直于同一条直线，但，的位置关系并不是平行．另外，，的位置关系也可以是异面，如果把直线平移到平面外，此时与的位置关系仍是垂直，但此时，，的位置关系是异面．

③如图，在正方体中，易知，，但，因此该命题是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

【解析】∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确．

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．

7.【答案】C

8.【答案】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE＝1,AO＝,AE=,

于是【答案】C

9.【答案】A

11.【答案】C

【解析】取BC的中点E，则面，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】A

【解析】∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.

16.【答案】B

17.【答案】D

【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.

18.【答案】　D

【解析】正四棱锥P－ABCD中，PA、PC与底面ABCD所成角相等，但PA与PC相交，∴A错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β，α⊥β，故B错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a？α，b？β，a⊥b，但α∥β，故C错；

19.【答案】Ｃ

【解析】在平面DAB内过点Ｂ与直线BC成60°角的直线共有２条，

　　　　故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。

20.【答案】D

21.【答案】D

依次画出各选项的示意图：

【解析】依次画出各选项的示意图：

显然D不正确，选D

22.【答案】D

【解析】若此四边形是平面图形，则一定是矩形．若为空间图形，则为有三个角为直角的空间四边形．

23.【答案】A

24.【答案】B

【解析】过与该点作一平面与平面相交，则交线与平行，那么在平面内过该点的直线中，除这一条直线外，其余的与都不平行，所以正确选项为B.

25.【答案】D

【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.

26.【答案】C

27.【答案】A

【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内

28.【答案】D

29.【答案】D

【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所以正确选项为D，即有

，，

∴ 四边形EFGH是正方形．

30.【答案】A

32.【答案】C

33.【答案】C

34.【答案】A

35.【答案】C

【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π，

∴小圆半径r＝O′A＝4，

又球体积为，∴＝，

∴球半径R＝5，∴OO′＝3，

故三棱锥的高为PO′＝R±OO′＝8或2，故选C.

36.【答案】D

【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴∴ ，，∴

37.【答案】B

38.【答案】D

【解析】若A、B、C、D四点不在一个平面内，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．若A、B、C、D四点在一个平面内，则距离相等的平面有无数个．

39.【答案】B

，又．

40.【答案】D

二、填空题

42.【答案】平行四边形

【解析】由α∥β∥γ，a与AF相交于A有：BG面ACF，

∴ BG∥CF,同理有：HE∥CF，∴BG∥HE．同理BH∥GE，∴ 四边形BGEH为平行四边形．

45.【答案】③⑤ ②⑤

【解析】若，，则；

若，，则。

三、解答题

47.【答案】（1）在直角梯形中，，为的中点，则,又，

,知.在四棱锥中，，，平面，则平面.因为平面,所以又, 且是平面内两条相交直线, 故平面.

(2)由(1)知平面，

知三棱锥的体积

由直角梯形中,，，，得三棱锥中，，

当且仅当，即时取等号，（此时，落在线段内）.故当时, 三棱锥的体积最大，最大值为.

48.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,又∵OE平面BDE,PA平面BDE,∴PA∥平面BDE

(2)∵PO底面ABCD,∴POBD,又∵ACBD,且ACPO=O∴BD平面PAC,而BD平面BDE,∴平面PAC平面BDE.

49.【答案】（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．

底面是正方形，．

与是平面内的两条相交直线，∴⊥平面．

平面，∴平面平面．

（Ⅱ）过作于，则．

∵⊥平面 ABCD，平面．

在中，求得．而，

所以四棱台的体积．

（Ⅲ）设与交于点O，连接．

过点B在平面内作于M，连接．

由（Ⅰ）知⊥平面，．

所以平面， ．

所以，是二面角的平面角．

在中，求得，从而求得．

在中，求得，同理可求得．

在中，由余弦定理，求得．

50.【答案】

（1）连接

依题意得是圆柱底面圆的圆心

∴是圆柱底面圆的直径

∵分别为,,的中点

∴

∴∥

∵，四边形是平行四边形

∴∥

∴∥

∴四点共面

（2）延长到，使得，连接

∵

∴，四边形是平行四边形

∴∥

∵，，

∴面

∴面，面

∴

易知四边形是正方形，且边长

∵，

∴

∴

∴

易知，四边形是平行四边形

∴∥

∴，

∴平面．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a716594ca5e9856a56126091.html