[卷2]2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区八年级（下）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．二次根式中，字母a的取值范围是（　　）

A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a D．a

2．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

3．在一次统考中，从甲、乙两所中学初三学生中各抽取50名学生进行成绩分析，甲校的平均分和方差分别是82分和245分，乙校的平均分和方差分别是82分和190分，根据抽样可以粗略估计成绩较为整齐的学校是（　　）

A．甲校 B．乙校

C．两校一样整齐 D．不好确定哪校更整齐

4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7

5．已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3

6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝16，则HE等于（　　）

A．32 B．16 C．8 D．10

7．菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）

A．对角线相等 B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等

8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（　　）

A． B．3 C．4 D．5

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

9．化简：＝　 　．

10．有一个不透明的袋子里装有若干个大小相同、质地均匀的白球，由于某种原因，不允许把球全部倒出来数，但可以从中每次摸出一个进行观察．为了估计袋中白球的个数，小明再放入8个除颜色外，大小、质地均相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中摇匀．这样不断重复摸球100次，其中有16次摸到红球，根据这个结果，可以估计袋中大约有白球　 　个．

11．直线y＝﹣x+1不经过第　 　象限．

12．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：3*2＝＝，那么7*（6*3）＝　 　．

13．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为　 　尺．

14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是　 　．

三．解答题（共10小题，满分78分）

15．（5分）若a＝，b＝，请计算a2+b2+2ab的值．

16．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝3，DC＝4，求DE的长．

17．（6分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5：4：1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg、20元/kg、27元/kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．

18．（6分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1、l2分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．

（1）求点B的坐标；

（2）若OC：OB＝1：3，求直线l2的解析式．

19．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在线段AC上找一点P（不能借助圆规），使得PC2﹣PA2＝AB2，画出点P的位置，并说明理由．

（2）求出（1）中线段PA的长度．

20．（8分）目前由重庆市教育委员会，渝北区人们政府主办的“阳光下成长”重庆市第八届中小学生艺术展演活动落下帷幕，重庆一中学生舞蹈团、管乐团、民乐团、声乐团、话剧团等五大艺术团均荣获艺术表演类节目一等奖，重庆一中获优秀组织奖，重庆一中老师李珊获先进个人奖，其中重庆一中舞蹈团将代表重庆市参加明年的全国集中展演比赛，若以下两个统计图统计了舞蹈组各代表队的得分情况：

（1）m＝　 　，在扇形统计图中分数为7的圆心角度数为　 　度．

（2）补全条形统计图，各组得分的中位数是　 　分，众数是　 　分．

（3）若舞蹈组获得一等奖的队伍有2组，已知主办方各组的奖项个数是按相同比例设置的，若参加该展演活动的总队伍数共有120组，那么该展演活动共产生了多少个一等奖？

21．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．

（1）求证：四边形BECF是平行四边形；

（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．

22．（9分）甲乙两人同时登山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山的速度是　 　米/分钟，乙在A地提速时距地面的高度b为　 　米．

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请直接写出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为多少米？

23．（11分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求线段DO的长；

（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．

24．（11分）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；

（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：根据题意知2a+1＞0，

解得：a＞﹣，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式与分式有意义的条件，本题属于基础题型．

2．【分析】根据最简二次根式的定义选择即可．

【解答】解：A、是最简二次公式，故本选项正确；

B、＝3不是最简二次根式，故本选项错误；

C、＝3不是最简二次根式，故本选项错误；

D、＝2不是最简二次根式，故本选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

3．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：∵甲校和乙校的平均数是相等的，甲校的方差大于乙校的方差，

∴成绩较为整齐的学校是乙校．

故选：B．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

4．【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：A、22+32＝13≠42，故A选项构成不是直角三角形；

B、32+42＝25≠62，故B选项构成不是直角三角形；

C、52+122＝169＝132，故C选项构成是直角三角形；

D、42+62＝52≠72，故D选项构成不是直角三角形．

故选：C．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

5．【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解．

【解答】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），

∴当y＝0时，x＝3，

∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3．

故选：D．

【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．

6．【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的性质计算即可．

【解答】解：∵D，F分别为BC，AB边的中点，

∴AC＝2DF＝32，

∵AH⊥BC，

∴∠AHC＝90°，又E为AC边的中点，

∴HE＝AC＝16，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

7．【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．

【解答】解：菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．故本题选C．

【点评】熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．

8．【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．

【解答】解：如图，连接AA′、BB′．

∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，

∴点A′的纵坐标是3．

又∵点A的对应点在直线y＝x上一点，

∴3＝x，解得x＝4．

∴点A′的坐标是（4，3），

∴AA′＝4．

∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝4．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

9．【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．

【解答】解：＝＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．

10．【分析】根据口袋中有8个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．

【解答】解：设袋中白球有x个，

根据题意，得：＝，

解得：x＝42，

经检验：x＝42是原分式方程的解，

即估计袋中大约有白球42个．

故答案为：42．

【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．

11．【分析】由k＝﹣1＜0，b＝1＞0，即可判断出图象经过的象限．

【解答】解：∵直线y＝﹣x+1中，

k＝﹣1＜0，b＝1＞0，

∴直线的图象经过第一，二，四象限．

故答案为：三．

【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，同时考查了函数的增减性，即一次函数y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

12．【分析】求出6*3＝1，再求出7*1即可．

【解答】解：∵6*3＝＝1，

∴7*1＝＝，

即7*（6*3）＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了对算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．

13．【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．

【解答】解：如图，依题意有△ABF∽△ADE，

∴AB：AD＝BF：DE，

即5：AD＝0.4：5，

解得AD＝62.5，

∴BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5（尺）．

故答案为57.5．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．

14．【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案．

【解答】解：

∵直线y＝x+1和y轴交于A1，

∴A1的坐标（0，1），

即OA1＝1，

∵四边形C1OA1B1是正方形，

∴OC1＝OA1＝1，

把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，

∴A2的坐标为（1，2），

同理A3的坐标为（3，4），

…

∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），

∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16），

故答案为：（15，16）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．

三．解答题（共10小题，满分78分）

15．【分析】将a、b的值代入原式＝（a+b）2计算可得．

【解答】解：当a＝，b＝时，

原式＝（a+b）2

＝（+）2

＝（）2

＝3．

【点评】本题主要考查考查二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式的混合运算顺序和法则．

16．【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵CD⊥AB，AD＝3，CD＝4，

∴AC＝，

∵E是AC的中点，

∴DE＝AC＝×5＝2.5．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．

17．【分析】根据加权平均数的概念进行解答即可．

【解答】解：这样定价不合理，理由如下：

加权平均数：＝16×+20×+27×

＝18.7（元/kg）．

算术平均数＝＝21（元/kg），

21＞18.7，

∴将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数不合理，

答：该什锦糖果合理的单价为18.7元/kg．

【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，熟知加权平均数的概念，正确列出算式是解题的关键．

18．【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；

（2）先根据OC：OB＝1：3可得C的坐标，利用待定系数法求得直线l2的解析式．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），

∴AO＝2，

在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，

即22+OB2＝（），

∴OB＝3，

∴B（0，3）；

（2）∵OC：OB＝1：3，

∴OC＝1，

∵点C在原点下方，

∴C（0，﹣1），

设直线l2的解析式为：y＝kx+b，

把C（0，﹣1）和A（2，0）代入得：，

解得：，

∴直线l2的解析式为：y＝x﹣1．

【点评】本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．

19．【分析】（1）直接利用网格结合垂线平分线的性质以及勾股定理得出答案；

（2）结合勾股定理进而得出答案．

【解答】解：（1）作BC的垂直平分线，分别交AC、BC于点P、Q，则PC＝PB．

△APB中，∠A＝90°，

由根据定理得：PA2+AB2＝PB2，

即：PB2﹣PA2＝AB2，

∴PC2﹣PA2＝AB2．

（2）由图可得：AC＝6，AB＝4，设PA＝x，则PB＝PC＝6﹣x，

△PAB中，∠A＝90°，PA2+AB2＝PB2，

∴x2+42＝（6﹣x）2，

解得：x＝，

答：线段PA的长度为：．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质与作法，正确得出P点位置是解题关键．

20．【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，即可得到总的组数，进而得出各分数对应的组数以及圆心角度数；

（2）根据中位数以及众数的定义进行判断，即可得到中位数以及众数的值；

（3）依据舞蹈组获得一等奖的队伍的比例，即可估计该展演活动共产生一等奖的组数．

【解答】解：（1）10÷50%＝20（组），20﹣2﹣3﹣10＝5（组），

m%＝×100%＝25%，

×360°＝54°，

故答案为：25，54；

（2）8分这一组的组数为5，如图所示：

各组得分的中位数是（7+6）＝6.5，

分数为6分的组数最多，故众数为6；

故答案为：6.5，6；

（3）由题可得，×120＝12（组），

∴该展演活动共产生了12个一等奖．

【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．

21．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用三角形的面积解答即可．

【解答】（1）证明：在△ABF与△DEC中

∵D是AB中点，

∴BD＝CD

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△ABF与△DEC中

，

∴△BED≌△CFD（AAS）

∴ED＝FD，

∵BD＝CD

∴四边形BFEC是平行四边形；

（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD．

22．【分析】（1）路程除以速度，计算出甲登上的速度，乙在0＜t＜2时，是正比例函数，速度为15米/分钟，代入2计算出A的高度；

（2）用待定系数法确定两个函数的解析式；

（3）追上时，两个函数有共同的x、y，即可列方程组，亦可列一次方程求解．

【解答】解：（1）甲登山300﹣100＝200（米），

用了20分钟，所以甲登山的速度为：＝10（米/分钟）；

乙从O到A的关系式为：y＝15x，

当x＝2时，y＝30米

故答案为：10，30

（2）甲的关系式：设甲的函数关系式为：y＝kx+b，

由题意，得

解得，

∴y＝10x+100；

设乙提速后的函数关系式为：y＝mx+n，

由于m＝30，且图象经过（2.30）

所以30＝2×30+n

解得：n＝﹣30

所以乙提速后的关系式：y＝30x﹣30．

（3）（法一）由题意得：10x+100＝30x﹣30

解得：x＝6.5

把x＝6.5代入y＝10x+100＝165，

相遇时乙距A地的高度为：165﹣30＝135（米）

答：登山6.5分钟，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．

法2：由题意，可得，

解得

相遇时乙距A地的高度为：165﹣30＝135（米）

答：登山6.5分钟乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．

【点评】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法确定函数解析式，是解决本题的关键．本题的第三问易把相遇时乙距A地的高度当成相遇时乙距出发地的高度而出错．

23．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；

（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；

（3）由6＜t≤9时OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12

由勾股定理得：

OD＝＝9．

（2）①当0≤t≤6时，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21

即：y＝﹣3t+21；

②当6＜t≤9时，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3

即：y＝t﹣3；

③当9＜t≤12时，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，则OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21

即：y＝3t﹣21；

综上所述：y＝；

（3）如图，

当6＜t≤9时，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，

∴△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）

＝﹣t2+15t﹣54

＝﹣（t﹣）2+，

∴当t＝时，△POQ面积的最大值．

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质、二次函数的应用及分类讨论思想的运用．

24．【分析】（1）如图①中，结论：AF＝AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可；

（2）①如图②中，结论：AF＝AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a、如图③中，当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形．b、如图④中当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形．分别求解即可；

【解答】解：（1）如图①中，结论：AF＝AE．

理由：∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB＝DF，

∵AB＝AC，

∴AC＝DF，

∵DE＝EC，

∴AE＝EF，

∵∠DEC＝∠AEF＝90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF＝AE．

故答案为AF＝AE．

（2）①如图②中，结论：AF＝AE．

理由：连接EF，DF交BC于K．

∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠DKE＝∠ABC＝45°，

∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，

∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠EKF＝∠ADE，

∵∠DKC＝∠C，

∴DK＝DC，

∵DF＝AB＝AC，

∴KF＝AD，

在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA，

∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，

∴∠FEA＝∠BED＝90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF＝AE．

②如图③中，当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EH＝DH＝CH＝，AH＝＝3，AE＝AH+EH＝4，

如图④中当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE＝AH﹣EH＝3﹣＝2，

综上所述，满足条件的AE的长为4或2．

【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a5f3306edc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b171b003.html