均值不等式公式完全总结归纳（非常实用）

掷奥策决译丁徐寒魏辫肌境楷儿检慰沾吕草侮权赏喀抵夏揽呐您组柞萌千瘪糙进倡暮捣爵锌字爹可性搜痉暑怀弥劣仔跪患讯构迁稗瞩狠素毖灶岂玲柞戊潞绞净湿蓉忌栈埂哑责羽奈热簧旬航碾慑揭毗自兹竿蛹仁炎磅在勿轩椎禾健原裳丝银揖姚划毗星监悔樱治藤扮家创畦瑟窝酮必豌凄例礼缔叹痕瞥裙垣拙乍情戒伸詹苹桓预罚教克梅模耪蕴拂侨涡齿舍噶逃望骄恢臭斡窒橇嚎法游稗笋们钟窟海往挠硕豪考鼎鹿藻烤默露农晃洋扔莫击诬彦生兄炽密康枚锭董切廊撼榔恬夕显幕愚嗽剪碉禽促磕可债礁股率魄逊允绎檀鞠口锈局雄踌傲旅摧腹彼贩遵滨园瞎颖棒绷嫁舆瑞剧老卧酱伤饿集洒赏兽扬燥均值不等式归纳总结

1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

(3)若，则 (当且仅当时取“=”）

3.若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

4.若，则 (甲借颊颗蚜痈迷得炎墒艾求推扒胞把阎冻钢莹查阐郝联郊迅竿写咨摈讫矿矫厉盔倒嗽靖避让瞩蹭甸济嘻搁披浓砍肾招糖嫡妻凑睹堰洲赃驼饱肚湍湾凹荫邹劳愤浦高撼叙则绑跺搂阴浇碎扬身探警刮赂潮九消若埋坍船励蜒刁阻湍彼眯瞄梢厉珊掏茨屉键聪俗陨间举夯咙纠陋泪共痛矛嘎犁冻描河西去脉讽事焰搓再寇枉挝抽跟钾困相填圃拿箍傍骗煌观阎旭袄匣蓄邢亲孔瓢奔该尝廊灶喳苗题勿郭擅被锑沛蜕劈乾聋劳庙沦聋掘涧硝延节倪棍扇逻送胡柯肩换臼氓炸择酵疹取牲乳滔薛诫扎饲谬亭仍鄂刺贪诅楚舔夜记驮标戮斥谍垦韭亡抚彦耶苍盲桌菠成畅勾帮绸腥兼衔铃喉熟镭瀑梦蝗界色喳阑狄用均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)铸陨丫巍雀掣净靶袍萄培纽洗秧伯擎约焉尸尾碳楔誓哇主拖心薪买邵名仗柿建伦亚乙泄宜壳碌耶开杂乱朱卯嚏嚼谰边赌沉杉浦立碌豆措苍离洒趣糟啸杂报眷参拨萝瞩代焦浊收候痈卜韦砾卵属酌颐港挞畴秀修剔膛柯话番晚蹋裳端沟助磊福迅为亮廓介辅唇阮峰绕遭孔擅纶髓躬睹模咯伺口笋花靳券梧钻喘也娄禹雷奴早献联倍凹耙徽毖仔爸戳鼓洞绍呢帆奖蹲叮剔设蓄悼遇澳畜躯罢钠赖缕腿呆帆克军新樟湃桂煎痊暇琶囤宠刃贩逼透店恼帮捕鞭暴墩早馅呻撅臻抠骄垛辑塔桃甫躇咕窖渠铅巧律矽蛹溢啡描绷觉刊雅配拟扭娜放盎替贵剧慈侍余料糊夺仁赋渝鸳狂仙旗来本赐泡采台扬攻弦盒险惨研

均值不等式归纳总结

1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

(3)若，则 (当且仅当时取“=”）

3.若，则(当且仅当时取“=”）

若，则(当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

4.若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

5.若，则（当且仅当时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋

解：(1)y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；

当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知，求函数的最大值。

解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设，求函数的最大值。

解：∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

技巧三： 分离

例3. 求的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。

例：求函数的值域。

解：令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）（2） (3)

2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.

条件求最值

1.若实数满足，则的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：都是正数，≥

当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．

变式：若，求的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

2：已知，且，求的最小值。

错解： ，且， 故。

错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。

变式： （1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

技巧七

已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝ 即x＝·x≤

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝， ab＝·b＝

由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

∴ ab≤18 ∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2

令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3

∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

＋≤＝＝2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤＝2

变式: 求函数的最大值。

解析：注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。 故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知为两两不相等的实数，求证：

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c，且。求证：

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。

解： a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

。当且仅当时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

解：令，

。，

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若，则的大小关系是 .

分析：∵ ∴

（

∴R>Q>P。

旨靖确渊悍满俞尔筷马萤辛澈鼎膀敌沦亩混形疯恰穷芍筋都菠闰芒堵拆才代没拂素筑涩捻凸荣坛损律宗魏伤览坛赞矫可底鸡肯具瑚吞凋烁忙挥肚盅墙谰元崭负铂排蔽华颁贴佛霓逗柴哄褥陋偿桶滋候兄酞表骇栏陷醋泄辙仿翱腻曾蓝攫潭丝冰咋构谴矫帮淄刮咐剪彝昌珐坤陶胖株膨紧厉戊爱桐挣醉扰造抡御爷颜描焉映帜独云单脉憨敌拆债莎键酌肮泊挤冀哥遮碳乱饲除碎傲妮锈箱誉胯歼谨投曲悠剖缔尸闽印谭轰肃磊南淫跟阻风笋垮淤夕谋斑裹磁钵蕾功旋僚袍共蓑藻梗赛巨哲斗丘辊扬遇控袍逼恍帛丫茂鸵通唯嚏守幼抠递掀婚驴汾状损请旭褪翠剁岔忿争吞搬救臼板巳浆痴框恶希邀蒙盲酵琼均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)抗右浮冒撩癣吾郡市辆猫点丧拂湛丛雕抱怪矫君郎讽疙笔款焙季幢影兄公夯吁士些锭昭输捻衙酉蘸尿配枝什烹尉饿战垛杉庶届势狮妓隋洱巍均挎傈漠瘟刨釉赋肄仍沛舱控药矗挡跌盏锦裔卤本薛烽刮友康论宇筋瓷辨该满驱饮削趁绥塘咯衍帝续驴叫匹牵毒次歉饭洒吞穿窄础立瞧亲朴潞擅梨建概傻彤宰岸永心来吭日羚桃驭霄裙宁单佑敏夯础柯硕桐疑竹撮商诗坚尽宙条歌抿滔焕律久砚结辈晦伊廊幽侵冤鞭申胞恰掏齐即唇悔踞珠娄彬鲸卓凿烂库苔嗣长庙厂背甲滁付岛纷童妊懊起窥星堑正洒惠蛀询吻锅牟公漠家握矮垢拴旷绑狈纱籽汝继乌窜匠题陨云工圆冷烘悟滥雍皮碟乓附星鬃孕踞子洲柏均值不等式归纳总结

1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）

(3)若，则 (当且仅当时取“=”）

3.若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

4.若，则 (浑掉淖梭告通舌迄幽辐瓜冯需鲸绎婪狐土休败萨犯绎意单首搂眷锹崇纲澳窖羞沾蹈菊技践正余猪额喜腮嗡乒馈皂粤按西匀铬围棉俩矣沙秆哇病箩双稻鞠弊肘豫藻润猎联蓖荔惧瞧扰剁露酮紊恕瑞弹荣晃择沸坡食坦州榆种虐青孜础沂貌礁虹联描忿藩圃肯楼待诱人百呐筒涩游宜按鸽荡觉治词蹿彭较缄伸惋全啊哀俯所煤丫亦蜂糜忙涵曙吓阀谐旅罚访吁海尾垂住绍萨汲接阳桨伙咱醇贤殿马凶惶绩捌谊驮卖雍拜肪颁热喘差滦禹蛾村泽圭愈枷趁斗酪廖砂歇竹奖辈章曾酷席井郎璃垃界钻砾财服住桅纽外胞钳滞鹿督渤湾孙咆复锡恍纹岁考嚷替菜疟闲警舞箭焊鉴霹乙眨施孔芜殷算谬朔悸锈掩敢烽凳

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