正态分布及其经典习题和答案整理

专题：正态分布

【知识网络】

1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；

2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；

3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】

例1：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 （ ）

A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1

答案：B。解析：，。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。

A．95% B．50% C．97.5% D．不能确定（与标准差的大小有关）

答案：B。解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）

A 32 B 16 C 8 D 20

答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，

。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。解析：设两数之积为X，

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图：

1为，2为，

则 ， （填大于，小于）

答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

甲答对试题数ξ的数学期望

Eξ=.

（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)==，P(B)=.

因为事件A、B相互独立，

方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，其分布列如下：

（1）求a,b的值；

（2）比较两名射手的水平.

答案：（1）a=0.3,b=0.4;

（2）

所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．

例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

答案：设取出的红球数为X，则X—H（6，6，12），，其中k=0,1,2,…,6

设赢得的钱数为Y，则Y的分布列为

∴，故我们不该“心动”。

【课内练习】

1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1

答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A．越大 B．越小 C．越大 D．越小

答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在个数据，那么是指

A． B． C． D．（ ）

答案：C。解析：由方差的统计定义知。

4．设，，，则的值是 。

答案：4。解析：，

5．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）= 。

答案：。解析：。

∴。

6．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是 。

(1)

(2)

(3)

(4)

答案：(1),(2),(4)。解析：。

7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V（X）= 。

答案：。解析：，按定义计算得。

8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。

答案： 由于E（甲）=E（乙），V（甲）

解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。

9．交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为），求抽奖人获利的数学期望。

答案：解：因为为抽到的2球的钱数之和，则可能取的值为2，6，10.

，，

设为抽奖者获利的可能值，则，抽奖者获利的数学期望为

故，抽奖人获利的期望为-。

10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.

（1）求该题被乙独立解出的概率；

（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.

答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.

则P（A）=P1=0.6, P(B)=P2

，

，

或利用。

【作业本】

A组

1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于 （ ）

A、4 B、5 C、4.5 D、4.75

答案：C。解析：X的分布列为

故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。

2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ）

A． B．

C． D．

答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。

3．正态总体为概率密度函数是 （ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

答案：B。解析：。

4．已知正态总体落在区间的概率是0．5，那么相应的正态曲线在 时达到最高点。

答案：0.2。解析：正态曲线关于直线对称，由题意知。

5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。

答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4

故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6

6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。

解：X的分布列为

故，。

7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.

答案：解：由已知可得，故．

　　有Y的取值可以是0，1，2.

甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是，

甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是，

甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是

所以；

甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，

甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是

所以，故

所以Y的分布列是

所以 Y的期望是E（Y）=。

8．一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.

（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.

（2）求开发商盈利的最大期望值.

答案：解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.

（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是(万元)；

召开新闻发布会盈利的期望值是

（万元）

故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元..

B组

1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 （ ）

A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5

答案：B。解析：X—B（10，0.05），。

2．若正态分布密度函数，下列判断正确的是 （ ）

A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值

C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值

答案：B。

3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是 （ ）

A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．9974

答案：C。解析：由已知X—N（100，36），

故。

4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=________；V(X)= _________.

答案：；。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：

E(X)=0×+1×＋2×＋3×＋4×＝

V(X)= ×+×＋×＋×＋×－＝

注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。

5．若随机变量X的概率分布密度函数是，则= 。

答案：-5。解析：。

6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。

解：∵X—B

X的标准差。

7．某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示：

若这段时间内，公司只安排2位接线员（一个接线员只能接一部电话）.

（1）求至少一路电话号不能一次接通的概率；

（2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”；

（3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X的数学期望.

答案：解：（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是

1-0.13-0.35-0.27=0.25；

（2）“损害度”；

（3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35..

8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？

答案：解：电池的使用寿命X—N(35.6,4.42)

则

即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。

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