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第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案-

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第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1若axnn0n收敛半径为R1，bxnn0n 的收敛半径为R2（R1<R2）则an0n的收敛bxnn半径为……（ D）
A、R1＋R2 B、R1R2 C、R2 DR1 解：an0nbnx的收敛半径是anx收敛半径为R1，bnxn 的收敛半径为R2中较nnn0n0小的 即R2 2．若axnn0n在xx00收敛，则在xx0内，axnn0n……（A）

A、绝对收敛 B、条件收敛
C、发散 D、可能收敛也可能发散 解：由定理知，若3．把fxaxnn0n在xx00收敛则axnn0n在xx0内绝对收敛 选A 1展成x的幂级数（其中ab0）时，其收敛半径R＝（A） abxabbbA． B． C． D．
baaba－b111解：＝
abxa1bxa1b(1x an0abaa x<1 x R＝ 选A abb4．nn2x1x的收敛区间（考虑端点）是 （C）
nn0n0nnA．（－1，1） B．[-1,1] C．1111, D．, 2222nn11解：（1）2x的半径R1＝ ；1xn的半径R2＝1 故R＝；
22n0n011nnn（2）在x处(2x发散，(1x收敛 故原级数在x处发散 选C 22n0n0anx2n5．设fx(a0,1，则f"x＝（A）
n02n!A．afx B．afx
2
1fx D．fx
aan解：（1）f’x2n1 xn12n1!C．anf"xx2n2n1mn12n2!am12mx＝afx 故选A 2m!m0xn6．幂级数在x1的和函数S＝（ B） （x）nn1A．ln1x B．ln(1x

11 D． 1xx1xnx1 解：令Sxnn11S'xxn1
1xn1x1Sxdxln1x 故选B 01xC．二、填空题（每小题4分，共24分）
x7．幂级数的收敛半径R为
n03an13n1解：limlimn1
nan33n1收敛半径R＝3
n8．幂级数解：axnn0n在x＝－3处条件收敛，则该级数的收敛半径R＝
级数在x＝－3条件收敛，当x3级数绝对收敛当x3级数发散 故R＝3 9．幂级数解：3n11nnnx2n1的收敛半径R＝
xlim3nn3n1n1Un1(x
nU(xnlimnx1
2122x1，x<3 x<3 故R＝3
3xn10．幂级数在－，的和函数
n1n!Sx＝

解：xnex n0n!
xnxn1ex1 n1n!n0n!故Sx＝e1
x11．lnx1展成x的幂级数，则lnx1=
(1nn1x收敛域1x1 解：lnx1＝n0(n11112．将展成(x1幂级数，则＝
2x2x
11解：（1）(x1
2x1(x1n0（2）收敛区间x11即0x2
n三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求n1(1nnx的收敛半径与收敛域 n2nan12nn解：（1）lim limn1nan2n1n1 收敛半径R＝2 211（2）当x＝－2时，发散 （p=<1）2nn11当x＝2时，收敛（莱布尼兹级数）
nn1（3）收敛域为－2，2
(x2n14．求的收敛半径与收敛域 n(n13n0nan13（n+1）1limn1 解：（1）limnan3(n23n收敛半径R＝3 有3x23 即 1x5
1（2）当x＝5时，发散（调和级数）

n＋1n1当x1时，n＋1（3）级数的收敛域为15，
n1－1n收敛（莱布尼兹级数）

(1n2n115．求nx的收敛半径与收敛域
4n1Un1x4n2limn1x 解：（1）limnU(xn4n
122x1 x4， x2， R＝2 4n1（2）当x2时(1发散Un0,n
2n0（3）级数的收敛域（－2，2） 16．将fx解：（1）变形
1展成（xb）幂级数（ab） xafx111
ba(xbba1xbbann1xb（2）展开fx1
ban0ban01xb(ban1n
（3）收敛域（即收敛区间）xb<1 babaxbba
x17．将fx2展开成x的幂级数
x3x2解：解法（1）
1111 fxxxxx2x1211x2xn1n1n＝xn1x1n1x
n0n02n02收敛域：x1 x1x1即1x1
22(x1(x221 x2(x1x2x11111nxn（1x1）
x1xn0212218．将fxln1x2x展开成x的幂级数
解法（2）fx解：（1）变形fxln1xln12x （2）展开：
fxn01nn1xn1n01nn12xn1

n01nn1xn112n1xn1
11x 22（3）收敛区间1x1,故有收敛区间11, 2219．将cosx展开成x的幂级数
4解：（1）变形
fxcosxcosx
4422＝cosxsinx
2424（2）展开
nn212n12n1fxxx 2n02n!n02n!（3）收敛域（即收敛区间） x
20利用逐项积分将fx＝arctanx展开成麦克劳林级数，并求其收敛域 解：（1）fx101t2dt
xn1t2ndt
0n0x＝1n0n2ntdtx2n1
n02n11n（2）当x1时
2n1收敛（莱布尼兹级数）
n0n1n当x1时，2n1收敛 故有收敛域1,1
n01四、证明题（本题8分）
21．利用ln2x的麦克劳林展开式，证明：
n1ln2
n01n证：（1）令fxln2xln21x 2xln2ln1
2(2 fxln2n01xn122n1

收敛区间：1x1,2x2
2（3）令x2,f2ln4ln2n1
n01n移项：n1ln4ln2ln2 证毕
n01n五、综合题（每小题10分，共30分）
1nnnn22．求幂级数nx3x的收敛域
n=12解：（1）变形：原式=（2）n11n6n2nxn
limnn1an1 an2n1limn6n12n11n6n
1116n166limn3
n2n621161R
3n161（3）当x时，发散un0,n
n36n116n1当x时，发散un0,n
n36n111故级数的收敛区间：,
33123．将fx2的幂级数 展开成（x-1）xx21解：（1）变形：fx
x3x2nn1x2x31111
5x3x2x3x25（2）展开：
111fx
52x13x1
11111 x1x15213123nn11x11nx11 532n023n0n111nn1n1x1
5n032x1x11,1 （3）收敛区间：23收敛区间1x3
ndex124．将fx展开成x的幂级数，并由此求之值 (n1!dxxn1xn解：（1）e x
n!n0xxn1dxn1dn!n0原式=
dxn!dxxn1xn1n1n2nxxn1 'n!n2n1n!n1n1!收敛区间为, （2）求n之值 (n1!n1ndex1令x1，=xn1(n1!dxx1
xexex1x2x1ee11
故有n=1 n1(n1!选作题 ：将fx12x2展开成x的幂级数
111解：fx'x'
2x212n1x' 2n02
1xnnnn1xn1 2n02n02x1，故收敛区间：2x2 收敛区间：2'


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/91e0cf92df3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b0ef.html

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