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初一几何——三角形内外角平分线模型

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数为（A．80度B．50C．100D．110度
2．如图，△ABC中，∠A＝50∠ABC和∠ACD的平分E，则∠E的度数度°，D是BC延长线上一点，度
为（线交于点20B．C．25D．30°
°°3CE．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC④
＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2正确的是（）
B．①③④A．①②③C．①④D．①②④
4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度
A．15°B．20°数为（5A1，得∠A°1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点C．25°D．30交于点A2，得∠A2；⋯⋯；
∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠
A2018的度数


6．已知△ABC，下列说法正确
的是P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交
点，则∠①如图（1），若点
②如图（2），P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的则∠P＝90°∠A；若点交点，ABC和外角∠ACE的角平分线的则∠P∠A．③如图（3），P是∠
交点，若点

7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求
∠BOC＝

8．如图，在△ABC
ACD，则∠E＝
初一几何——双角平分线模
型ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠
第8题
图ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠中，∠ABC＝40°，∠
9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点
F，则∠F＝第1页（共15页）

10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．
11．如图①，∠ACD是△ABC的BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．外角，，求∠E的度
E与∠A有什么数量关系；（写出2）猜
3）如图②，点E是△ABC两外角BE、平分线

12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝α，则∠
BOC＝，并请你帮他说明理由．
（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝
（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形⋯，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系，并说明理由．
（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：．
第2页（共15页）


13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数
（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
4）如图4，已知△ABC，将外CBP进行n等BF是临近BC边的等分线，将外BCQ进行n等角∠BC边的等分线，试分，F的数量关角∠分，CF是临近A和∠确定∠系．

1，O是△ABC内一14．（1）如BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝
图若∠A＝点，则∠BOC＝；46°，
O是△ABC外一点，n°（2）如2，BOCO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠O是△ABC外一点，图（3）如3，，BCF．若∠图BO
，
则∠BOC＝
A＝n°，求∠BOC；BOC．
第3页（共15页）


第4页（共15页）



第4页（共15页）


初一几何——双角平分线模型
参考答案与试题解析
．选择题（共5小题）
ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50，则∠°A的度数为（



A．80度B．50度C．100度D．110度【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝100°，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：A．
∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（
A．40°B．20°C．25°D．30°【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC∠ABC，∠ECD∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝50°，∴（∠ACD﹣∠ABC）＝25°，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝25°，故选：C．
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）
第6页(共15页



A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
(∠ACD﹣∠ABC∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣(∠OBC+∠OCB＝180°(∠ABC+∠ACB＝180°(180°﹣∠1＝90°∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，∴∠OCE(∠ACB+∠ACD
180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．

4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：延长AC交BD于点E，设∠ABP＝α，
第7页（共15页）

的度数为(
P
∵BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，
∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP∠ACD＝α+40°，∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，∠AFP＝∠P+∠ACP
∴α+60°＝∠P+α+40°，∴∠P＝20°，故选：B．

5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相
交于点A2，
得∠A2；⋯⋯；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（）

2018
A．80C．40
B．80D．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，由三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
（∠A+∠ABC）＝∠A1+∠A1BC＝∠A1∠ABC，整理得，∠A1∠A80°＝40°；同理可得∠An
80
故选：D．
．填空题（共4小题）
第6页(共15页


6．已知△ABC，列说法正确的是
①②③（只填序号）①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A；
③如图（3），
P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠∴∠若点PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A，∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°∠A＝90°∠A；
②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP∠BCE（∠A+∠ABC），∠PBC∠CBF（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：【解答】解：①正确．∵
P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°（∠A+180°）＝90°∠A．
③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC∠ABC，∠PCE∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACE∠ABC∠A，∴∠ABC∠A＝∠PBC+∠P，∠P∠A；故答案为①②③．
7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠第9页（共15页）
BOC＝



113°
第9页(共15页



解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB(∠ABC+∠ACB，∵∠A＝46°，
∴∠OBC+∠OCB(180°﹣46°＝67°，
∴∠BOC＝180°﹣(∠OBC+∠OCB＝180°﹣67°＝113°．
故答案为：113°．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠
E＝18°
解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠EBC∠ABC＝20°，∠ECD∠ACD＝38°，
∵∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝38°﹣20°＝18°，故答案为18°．
9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠＝52°

解答】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF∠ABC，∠EAB∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，
∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF(∠DAB﹣∠ABC＝52故答案为：52°．
第9页(共15页

F


∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．
解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，
∴∠CAD∠CAF＝∠H∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又∵∠CAF＝∠B+∠ACB＝90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠CAF∠ACB＝45
∴∠H∠CAF∠ACB＝45°．
．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）
（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说
【解答】解：（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1∠ACD＝55°，∠2∠ABC＝25°∵∠E+∠2＝∠1，
∴∠E＝∠1﹣∠2＝30°；2）猜想：∠E∠A；
(3∵BE、CE是两外角的平分线，
第12页（共15页）

11明理由．


∴∠2∠CBD，∠4∠BCF，
而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，∴∠2(∠A+∠ACB，∠4(∠A+∠ABC．∵∠E+∠2+∠4＝180°，
∴∠E(∠A+∠ACB(∠A+∠ABC＝180°，即∠E∠A(∠A+∠ACB+∠ABC＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝（90）°．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝α，则∠
BOC＝120°∠α，并请你帮他说明理由．
（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形⋯，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系∠O（∠A+∠D），并说明理由．
（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：∠O（∠A+∠∠D+∠E+∠F）﹣

第13页（共15页）


180°
解：∵∠A＝【解
＝180°﹣α，∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABC+α，∠ACB∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB(∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠O＝180°﹣(∠OBC+∠OCB＝180°﹣90°(90°；故答案为：（90）
（1）根据∠CBO∠ABC，∠BCO
∠α；
∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝120°
（2）根据∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC
(3四边形边形ABCDEF的内角和为：(4﹣2?180°＝360°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°∠ABC∠BCD＝180°(∠ABC+∠BCD＝180°(360°﹣∠A﹣∠D
(∠A+∠D

第14页（共15页）


(4六边形ABCDEF的内角和为：(6﹣2?180°＝720°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCD＝180°＝180°＝
180°
∠ABC∠BCD(∠ABC+∠BCD
(720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F
(∠A+∠B+∠E+∠F﹣180
故答案为：（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数
（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
CBPBF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，4）如图4，已知△ABC，将外角∠进行n等分，
CF是临近BC边的等分线，试确A和∠F的数量关定∠

解答】解：（1）由已知得
第15页（共15页）


∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
（2）由已知得，
∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
（3）由已知得，
∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
（4）由已知得，
∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝113°若∠A＝n°，则∠BOC＝；
（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；
（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．
【解答】解：（1）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB
第16页（共15页）


第17页（共15页）∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）




＝180
(180°﹣∠＝90°∠AA＝113°，
故∠BOC＝113°．∴若∠A＝n°，则∠BOC
；
(2∵∠COB＝180°﹣(∠OBC+∠OCB，而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠FCB∴∠BOC＝(∠EBC+∠FCB，
180而°∠EBC＝﹣∠ABC，∠FCB＝∠180°ACB
∴∠BOC＝
180°﹣∠
180°
(180°+∠A



＝90°∠A，(3∵∠COB＝∠4﹣∠2，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，∴∠ACD＝2∠4，∠ABC＝2∠2，∴∠A＝2∠COB，∴∠BOCn°．
第18页（共
15页）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/918053d94631b90d6c85ec3a87c24028905f8532.html

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