探讨同月同日生的概率问题

探讨同月同日生的概率问题

高二（12）班 沈美晓 王小伟 吴龙威

指导教师：贺航飞

1． 问题的提出

在日常生活中，经常会出现两人同年同月同日生的情况，彼此感觉很有缘。遇到同月同日生的人是不是很困难呢？

其实出现这样的现象并不是很难，一个50人的班级，几乎可以肯定有人同一天生日。为什么会这样呢？我们通过求概率就能明白其中的缘由。

众所周知，一年有365天，根据抽屉原理，在366个人之中，必然会出现两人同月同日生的情况（闰年则是367人，为了方便运算，将一年定为365天）。那么在一个群体中（如一个班，一个组等），存在这种现象（两个人同月同日生）的概率有多大呢？

2． 解决问题：

设人数为r，一年中有n天，r（r≤n）个人中存在两人同月同日出生的概率为A。

分析：如果没有两个人的生日相同，那么第一个人的生日有n种可能，第二个人有(n-1)种可能……，第r个人有（n-r+1）种可能；如果没有前面的限制，则每人都有n种可能，共种可能。于是，“没有两个人的生日相同”的概率为，从而“存在两个人的生日相同”的概率为：

=

我们取，通过计算可以得到下表（在老师的帮助下，我们查阅了文献[1]，得到此表）：

[表一]

3． 问题推广的分析与探究

存在两个人同月同日生的概率已知，那3个人呢？（此问题由文献[2]提出，并给出了解答，但出现了错误，我们对此进行纠正，思路如下：）

在第一个问题中，已知r人中存在两个人同月同日生的概率是A，此处的“存在”包括事件B和事件C：

B={恰有x对人（一对两人）同月同日生，其中x≤[]}

C={多人同月同日生（多人指3人或3人以上）}

很明显，此处用反向思考更为方便，C=AB，由于A已知，只需求出事件B的概率即可。

⑴设r人只有且恰有i对人（一对两人）同一天生日的概率为。

从r人中选出一对人有种可能

一年n天，本应有r天给这r个人过生日，但因为有两个人同一天生日，所以只有r-1天有人过生日，即把r-1天安排出来给这些人过生日，共种可能。

而每个人有n种选择，所以总共种选择，综合得：

⑵从r人中选出一对人，；再从r-2人中选出一对人，。这r个人共在r-2天中过生日，所以

⑶从r人中选出一对人，；从r-2人中选出一对人，；再从r-4人中选出一对人，。这r个人共在r-3天中过生日，所以

……

⑷设r人中最多有x对人，既x=

所以

从而

经计算机计算得，当r= 时，

C=A-B>

所以当在 个人中，三人同月同日生的概率大于。

4． 提出问题：

本文利用对立事件求概率，从反面来思考问题，使问题大大简化；同时，设法把大问题转化成几个小问题，逐一解决，分解了难度。最后利用计算机的超强运算功能，验证了研究结果（验证范围较小，排列数的增长速度太快，笔者缺少更先进的计算工具），把其与表一的结果进行比较，发现是比较符合生活实际的。

根据本文的研究思想，我们还可研究存在4个人，5个人同一天生日的情况，并不断地扩展下去。那么还有其他更简便的方法吗？

同时，本文中概率B是否有更统一的更简洁的计算公式，由于知识能力所限，笔者百思不得其解。期盼能得到专家的指导。

参考文献：

[1]

[2]单墫 著，《概率与期望》第8个论题，上海，华东师范大学出版社.2005，10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/905fdd45996648d7c1c708a1284ac850ad0204e1.html