初一数学列方程组解应用题（含答案）

列方程组解应用题

知识框架

一、 列方程解应用题的主要步骤

（1） 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；

（2） 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；

（3） 找到题目中的等量关系，建立方程；

（4） 解方程；

（5） 通过求到的关键量求得题目最终答案．

二、 解二元一次方程（多元一次方程）

消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元．

重难点

（1） 设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量

（2） 用代数法来表示各个量：利用“”表示出所有未知量或变量

（3） 找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）

例题精讲

一、 列方程组解应用题

【例 1】 辆小车和辆卡车一次运货吨，辆小车和辆卡车一次运货吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设每辆卡车和每辆小车每次各运货吨，根据题意可得：

，解得

　　　所以，每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨。

【答案】每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨

【巩固】 甲、乙二人时共可加工个零件，甲加工时的零件比乙加工时的零件还多个．问：甲每时加工多少个零件？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件.则根据题目条件有：

　　　　，解得

　　　所以甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件．

【答案】甲每小时加工个零件

【例 2】 已知练习本每本元，铅笔每支元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设老师原本打算让小虎买本练习本和支铅笔，则由题意可列方程组：

，整理得，即，

将两式相加，得，则，

1 ⑶，得．

所以，老师原打算让小虎买17本练习本．

【答案】老师原打算让小虎买17本练习本

【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共双，胶鞋每双元，布鞋每双元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多元．问：两种鞋各多少双？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设布鞋有双，胶鞋有双．

　　　　，解得

　　　所以布鞋有双，胶鞋有双．

【答案】布鞋有双，胶鞋有双

【例 3】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设乙车运来箱，每箱装个苹果，根据题意列表如下：

根据上表可列出如下方程：

，化简为

⑴⑵，得：，于是．

将代入⑴或⑵，可得：．

所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．

三车苹果的总数是：(个)．

【答案】三车苹果的总数是：个

【巩固】 有大、中、小三种包装的筷子盒，它们分别装有双、双、双筷子，一共装有双筷子，其中小盒数是中盒数的倍．问：三种盒各有多少盒？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设中盒数为，大盒数为，那么小盒数为，根据题目条件有两个等量关系：

　　　　该方程组解得，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.

【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个

【例 4】 有克、克、克三种砝码共个，总重量为克；如果把克的砝码和克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为克.那么克、克、克的砝码有多少个？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 克砝码比克砝码每多个，对调后总重量将减少克，所以克砝码比克砝码多（个）．

　　　　在原来的砝码中减掉个克砝码，此时剩下个砝码，且克砝码与克同样多，总重量为克．

　　　　设剩下1克、5克各个，2克砝码个，则

　　　　，解得

　　　　所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个．

【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个

【巩固】 某份月刊，全年共出期，每期定价元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人．

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设订半年的人，订全年的人，则：

，得，两式相加，得，

所以，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人．

【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人

【例 5】 某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设添置了台计算机，台空调．

则有

⑵式整理得，则；

代入⑴得，解得，则，

所以公司一共添置了8台计算机和2台空调．

【答案】8台计算机和2台空调

【巩固】 甲、乙两件商品成本共元，已知甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价；后来甲打折出售，乙打折出售，结果共获利元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设甲、乙两件商品成本分别为元、元.

　　　　根据题意，有方程组：

　　　　，解得

　　　　所以成本较高的那件商品的成本是元．

【答案】成本较高的那件商品的成本是元

【例 6】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，另一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，小明在考试中只有道题没有答，以两种方式计分他都得分，求考试一共有多少道题？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设小明答对了道题，答错了道题.由题目条件两种计分方式，他都得分，可得到两条等量关系式：

　　　　解得，所以考试一共有道题.

【答案】考试一共有道题

【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给分，不答给分，答错不给分；另一种是先给分，答对一题给分，不答不给分，答错扣分．某考生按两种判分方法均得分，这次比赛共多少道题？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设答对道题，未答道题，答错道题，由条件可列方程

　　 由式知，是奇数，且小于．式可化简为

　　　由式知，大于．综合上面的分析，是大于小于的奇数，所以．

　 　　再由式得到，． ，所以共有道题．

【答案】共有道题

【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件

个．

要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则．

此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品．

【答案】最多能生产出套产品

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件，生产了裤子

件．

根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即．那么共生产了套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时．故最多可以生产出套衣服．

【答案】最多可以生产出套衣服

【例 8】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶千米，下坡时每小时行驶千米．车从甲地开往乙地需小时，从乙地到甲地需小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？

【考点】列方程组解应用题

【关键词】华杯赛，复赛

1【解析】 (法1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为千米，下坡路为千米，依题意得：

解得，，

所以甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路．

答：甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路．

【答案】甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路

【巩固】 从村到村必须经过村，其中村至村为上坡路，村至村为下坡路，村至村的总路程为千米．某人骑自行车从村到村用了小时，再从村返回村又用了小时分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的倍．求、之间的路程及自行车上坡时的速度．

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设、之间的路程为千米，自行车上坡速度为每小时千米，则、之间的路程为 千米，自行车下坡速度为每小时千米．依题意得：

，

两式相加，得：，解得；代入得．

故、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米．

【答案】、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米

二、设而不求

【例 9】 位小学生的平均身高是米，其中有些低于米的，他们的平均身高是米；另一些高于米的，平均身高是米，那么最多有________位同学的身高恰好是米．

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设身高低于米的有人，身高高于米的有人，则：

，得，所以最小为，最小为，身高恰好是米的同学最多有人．

【答案】身高恰好是米的同学最多有人

【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知个大和尚每天共吃个馒头，个小和尚每天共吃个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设庙里有个大和尚，个小和尚，则共吃个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：，化简为．当，时和尚最少，有(个)和尚．

【答案】至少有个和尚

【例 10】 某次演讲比赛，原定一等奖人，二等奖人，现将一等奖中的最后人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了分，得一等奖的学生的平均分提高了分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

【考点】列方程组解应用题

1【解析】 设原来一等奖的平均分为分，二等奖的平均分为分，得：

，

即原来一等奖平均分比二等奖平均分多分．

【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多分

【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)

【考点】列方程组解应用题

2【解析】 设某一学生前4次的平均分为分，第5次的得分为分，则其5次总分为，于是．显然，故，解得．

由于为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：分；分．

【答案】第5次的得分分别为：分；分

【例 11】 购买3斤苹果，2斤桔子需要元；购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要 元.

【考点】列方程组解应用题

【关键词】2008年，第六届，希望杯，1试，六年级

1【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要元、元，则：

，

两式相加得，即。

所以各买1斤需要元。

点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买斤苹果和斤苹果，须元，所以各买1斤需要元.

【答案】各买1斤需要元

【巩固】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；则购买甲、乙、丙各件，共需要 元。

【考点】列方程组解应用题

【关键词】2008年，陈省身杯

2【解析】 设甲、乙、丙的单价分别为，，，则，

由得，即各买一件需要元。

点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。

【答案】各买一件需要元

课堂检测

【随练1】 在岛上居住着个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有人回答：“是”；对第二个问题有人回答：“是”；对第三个问题有人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？

【考点】列方程组解应用题

3【解析】 我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子.每个老实人都只会对一个问题“是”.而每个骗子则都对两个问题答“是”.将老实人的数目计为，将骗子的数目计为.于是．又由于在岛上居住着个人，所以，联立两条方程，解得.所以岛上有个人说的是假话．

【答案】个人说的是假话

【随练2】 一片青草，每天长草的速度相等，可供头牛单独吃天，供只羊单独吃天．如果头牛的吃草量等于只羊的吃草量，那么，头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃________天．

【考点】列方程组解应用题

4【解析】 把只羊每天的吃草量当作单位“”，则头牛每天的吃草量为，设原有草量为，每天的长草量为，那么：

解得，，

如果头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃(天)．

【答案】

【随练3】 华医生下午2时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后原路返回，下午6时回到诊所．医生走平路的速度是每小时4千米，上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，华医生这次出诊一共走了 千米．

【考点】列方程组解应用题

【关键词】年，南京市，冬令营

5【解析】 设平路长千米，山坡长千米，则共走了千米，根据题意，列方程

，

，

．

所以，华医生这次出诊一共走了14千米．

【答案】14

家庭作业

【作业1】 小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前时间乘车，后时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多小时．已知小明步行每小时行千米，乘车每小时行千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?

【考点】列方程组解应用题

【关键词】第十一届，迎春杯，决赛

6【解析】 设小明家到奶奶家的路程为千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是小时，那么根据题意有：

，解得：

　　　　　答：小明从自己家到奶奶家的路程是千米．

【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是千米

【作业2】 甲、乙二人共存款元，如果甲取出，乙取出，那么两人存款还剩元.问甲、乙二人各有存款多少元？

【考点】列方程组解应用题

7【解析】 设甲存款元，乙存款元，根据题目条件有两条等量关系,一是两人存款加起来等于元，二是取钱后两人存款加起来有元.由此可列得方程组:

　　　　方程组最终解得,所以甲存款元，乙存款元．

【答案】甲存款元，乙存款元

【作业3】 甲、乙两个容器共有溶液克,从甲容器取出的溶液，从乙容器取出的溶液，结果两个容器共剩下克.问：两个容器原来各有多少溶液？

【考点】列方程组解应用题

8【解析】 设甲容器有溶液克，乙容器有溶液克，根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克.由此可列得方程组:

　　　　方程组最终解得，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克．

【答案】甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克

【作业4】 某班有名同学，其中有名男生和女生的参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.问：这个班有多少名男生？

【考点】列方程组解应用题

9【解析】 设有名男生和名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为45人，二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组：

　　　　该方程组解得，所以这个班有名男生．

【答案】这个班有名男生

【作业5】 一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的倍．问：男孩、女孩各有多少人？

【考点】列方程组解应用题

10【解析】 设男孩有人，女孩有人．根据条件可列方程：由第一条方程可以得到，代入第二条方程得到.解得，再代入第一条方程．方程解得.所以男孩有人，女孩有人．

【答案】男孩有人，女孩有人

【作业6】 甲、乙两种商品的原来价格比是．如果它们的价格各自上涨元，它们的价格比变为．求甲乙两种商品的原价各是多少元？

【考点】列方程组解应用题

11【解析】 方法：设甲乙两种商品原来价格分别为元，元，根据涨价后价格比为，列方程得，解得，原来两种商品的原价各是元，元

方法：设甲乙两种商品原价各是元,元，依题意列方程组得解得

甲乙两种商品原价各是元,元

方法：由于原来两种商品相差份，涨价后相差份，由于涨价钱数相同，所以应涨份，所以原来两种商品的价格比，涨价后价格比，所以价格涨了份，恰是元，所以份是元，所以原来两种商品的价格各是为元，元

【答案】原来两种商品的价格各是为元，元

【作业7】 如图，图中、和分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含这个字母的四边形面积是多少？

【考点】列方程组解应用题

12【解析】 如图，设虚线把四边形分成面积为、的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于相应底边之比，可得：（可化简为）和（可化简为），由这两条方程构成方程组：

，方程组可解得：，

所以四边形的面积为

【答案】四边形的面积为

【作业8】 假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；乙用绳根不够，差丙家绳子根；丙用绳子根不够。差丁家绳子根；丁用绳子根不够，差戊家绳子根；戊用绳根不够，差甲家绳子根．如果各得所差的绳子根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数）

【考点】列方程组解应用题

13【解析】 依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、、、、，井深，则可列出方程组如下：

这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代，，，，

　　　　代入最后一个式子，，即，所以，．

　　　　于是，，，，．

【答案】井深，甲家绳长，乙家绳长，丙家绳长，丁家绳长，戊家绳长

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