河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第18讲相似三角形（8年真题训练）练习

第18讲　相似三角形

命题点　相似三角形的性质与判定

1．(2017·河北T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)

A．增加了10% B．减少了10%

C．增加了(1＋10%) D．没有改变

2．(2011·河北T9·3分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

B．2

C．3

D．4

3．(2014·河北T13·3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，

得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

　　　　　　　图1　　　　　　　　　　 图2

对于两人的观点，下列说法正确的是(A)

A．两人都对 B．两人都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

4．(2016·河北T15·2分)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)

重难点　相似三角形的性质与判定

　在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.

(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；

(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；

(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝298b6c94e4cc9ef8dc0390f225bf8ccb.pngS△ABC时，求线段EF的长．

【思路点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得9c5e5263f3135916c9ec8f54f398496b.png＝d9d49ecf658275ce491c3d5d0ed71f1d.png，进而有8ebecfd3615d9ff8010397264a5642d6.png＝d9d49ecf658275ce491c3d5d0ed71f1d.png，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，求出点D到AB的距离，进而利用S△DEF的值求出EF即可．

【自主解答】

解：(1)图1中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE.

(2)△BDF∽△CED∽△DEF.

证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°，

又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE.

由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED.∴9c5e5263f3135916c9ec8f54f398496b.png＝d9d49ecf658275ce491c3d5d0ed71f1d.png.

∵BD＝CD，∴8ebecfd3615d9ff8010397264a5642d6.png＝d9d49ecf658275ce491c3d5d0ed71f1d.png.

又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF.

(3)连接AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H.

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngBC＝6.

在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，∴AD＝8.

∴S△ABC＝bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.pngBC·AD＝48.S△DEF＝298b6c94e4cc9ef8dc0390f225bf8ccb.pngS△ABC＝12.

又∵df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAD·BD＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAB·DH，∴DH＝4.8.

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD.

∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8.

∵S△DEF＝bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.pngEF·DG＝12，∴EF＝5.

【变式训练1】(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.

(1)求证：△BDE∽△CAD；

(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．　　

解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠B＝∠C.

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.

∴△BDE∽△CAD.

(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.

在Rt△ADB中，AD＝7fc3e583f185aa8b5e5518d3e010e6db.png＝12，

∵df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAD·BD＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAB·DE，∴DE＝475fd1ba5b0c276d1dd31450be1833ef.png.

8b2b925b5aef2f3ec039b8cfc1f159da.png基本图形

(1)斜边高图形

有以下基本结论：

①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；

②△ADB∽△CDA∽△CAB.

(2)一线三等角

有以下基本结论：

①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；

②△BDE∽△CFD.

特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.

1e111038085a2dd95f185308237fff28.png“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：

图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助．

【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．

解：分三种情况：设BP＝x.

①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°.

∴∠BAP＋∠APB＝90°.

∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.

∴∠BAP＝∠CPQ，

∴△ABP∽△PCQ.

∴6a6849a9216254b827b66f7681581d5a.png＝c936c1175c364bc4bd1f3469889d4396.png，∴38d23ab6f620f17dd7485b5d2eb0fba4.png＝42e79b63e684876cd5050d02c979868b.png，

∴x1＝x2＝2.

∴BP＝2；

②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png－2；

③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

综上所述：线段BP的长为2或21553867a52c684e18d473467563ea33b.png－2或2＋21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

1．(2018·白银)已知be7e419dad118aed18feac14389f454f.png＝a7f36a4fc4e5ef829da397292b2afbc1.png(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)

A.93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png B．2a＝3b C.46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png D．3a＝2b

2．(2018·重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)

A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm

3．(2018·河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是(C)

A．① B．② C．③ D．④

4．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)

A.a0d8d079e9f75a7899071919ea4dd851.png＝7422d7c3ab04cd8ee8cef8a7e9f493df.png B.dc7a2aee5a84064531bddd15c8661786.png＝4278b9eefc76533c175695c856faeb3a.png C.67dbee164766332a8dcfdd4a2da8779f.png＝a60430feb1d1358a57568909ca265a7b.png D.a28f7ffb401b4f40538648005af821b0.png＝179317b40a575a0ac90a242afeda1b06.png

5．(2018·邯郸一模)如图，在△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形(△ABC自身除外)的个数是(B)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．(2018·石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)

已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.

求证：△ADE∽△DBF.

证明：又∵DF∥AC，①

∵DE∥BC，②

∴∠A＝∠BDF.③

∴∠ADE＝∠B.④

∴△ADE∽△DBF.

A．③②④① B．②④①③

C．③①④② D．②③④①

7．(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则c652ce066095c30635775ddd1add26e3.png的值为(C)

A．1 B.193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png C.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png－1 D.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1

8．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是90a56ea08106efd282feea74d816ea17.png步．

9．(2018·抚顺)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，－6)，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png或d1d1b4c9b7dc542bb4b0208e932fac63.png．

10．(2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．

解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.

∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.

∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.

∵BC＝4，∴CD＝4.

∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.

∴b838162a7ac44e2ffed12b33d02ffbc5.png＝2ae211bb1548bb2a45a0b6e514abece8.png.

∴ef628ec16b0a0532ce67437f1f8740b5.png＝2ae211bb1548bb2a45a0b6e514abece8.png.∴AE＝2CE.

∵AC＝AE＋CE＝6，

∴AE＝4.

11．(2018·包头)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为(D)

A.914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png C.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png D.328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

提示：连接DE，可证△DEF∽△BAF.

12．(2018·达州)如图，E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngAC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则eacff930f88fff4ff42d1144919af66f.png的值为(C)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png C.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png D．1

提示：可证AG∶AB＝CH∶BC＝1∶3.

13．【分类讨论思想】(2018·常州)如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3≤AP＜4．

14．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.

(1)求∠BDF的大小；

(2)求CG的长．

解：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，

∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10.

∴∠ABD＝45°.

∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，

∴AB∥EF.

∴∠BDF＝∠ABD＝45°.

(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，

∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.

∵∠DAB＝90°，

∴∠ADE＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ADE＝∠ACB.

∴△ADE∽△ACB.

∴c21c306e99517f1ff11cd51ab932d850.png＝11e8b82fca4fd482418c2c2ce3be0b71.png.

∵AC＝8，AB＝AD＝10，

∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.

15．(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．

(1)求DE的长；

(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；

信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；

信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．

若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．

解：(1)连接DE.

∵AB＝27米，AD＝500米，

AC＝15米，AE＝900米，

∴a0d8d079e9f75a7899071919ea4dd851.png＝a43774603ea6713e97487fae0419e567.png＝4a941f45b6a70625d322bd006ab5a12b.png.

又∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED.

∴f77927de9c4be8bad07da014a4619183.png＝bf5cda0da7f1997b78de1567fac6ee5c.png＝4a941f45b6a70625d322bd006ab5a12b.png，即DE＝750米．

(2)设甲工程队每天开挖涵洞x米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，依据题意，得

f9da2ce27e6511617b608eb90ffd5d9c.png－de19ba260830e18fb3aac97d47a69553.png＝25，解得x＝10.

经检验，x＝10是原方程的解．

则1.5x＝15.

∴甲工程队打通这个涵洞的时间为fac9b8abfab0f61e89b5e49fcb80d313.png＝75(天)，

甲工程队打通这个涵洞所需的费用为

75×3 500＝262 500(元)；

乙工程队打通这个涵洞的时间为

de19ba260830e18fb3aac97d47a69553.png＝cc953fe52a5e486d772e9d2f46b83d00.png＝50(天)，

乙工程队打通这个涵洞所需的费用为

50×4 000＝200 000.

∵200 000＜262 500，

∴选用乙工程队较合算．

16．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为1d8fbbae48409edbfed219035af77d87.png步．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8e47d0dc53d380eb6294dd88d0d233d4b14e3faa.html