3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算

方法技巧专题：三角形中有关角度的计算

——全方位求角度，一网搜罗

类型一　已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度　　　　　　　　　　　　　　　

1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是(　　)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．钝角三角形 D．锐角三角形

2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.

3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.

4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

类型二　综合内、外角的性质求角度

5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为(　　)

A．40°

B．60°

C．80°

D．100°

6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．

7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.

(1)求证：∠EAC＝∠B；

(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．

类型三　在三角板或直尺中求角度

8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为(　　)

A．60° B．50°

C．40° D．30°

第8题图　　　　第9题图

9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是(　　)

A．75° B．90° C．105° D．120°

10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为(　　)

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；

(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．

类型四　与平行线结合求角度

12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于(　　)

A．60° B．25°

C．35° D．45°

第12题图　　　第13题图

13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．

类型五　与截取或折叠结合求角度

14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于(　　)

A．42° B．66°

C．69° D．77°

第14题图　　　第15题图

15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为(　　)

A．120° B．180°

C．240° D．300°

16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．

【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．

参考答案与解析

1．A　2.67.5°　3.90　60

4．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°.

5．C

6．解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝∠2＝35°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝105°.

7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.

(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，即3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.

8．D　9.C　10.C

11．解：(1)150°　90°

(2)不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.

12．C　13.70°　14.C

15．C　解析：因为∠1＝180°－∠AMN，∠2＝180°－∠ANM，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM＋∠AMN)．又因为∠ANM＋∠AMN＝180°－∠A＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.

16．40°　解析：由折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.因为∠1＋∠A′EA＝180°，∠2＋∠A′DA＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，所以∠AED＋∠ADE＝140°，所以∠A＝40°.

【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8ccdd4d56fdb6f1aff00bed5b9f3f90f77c64d96.html