河南省2019届中考数学总复习第五章四边形作业帮

第一节　平行四边形(含多边形)

考点1　多边形及其内角和与外角和

1.[2018北京中考改编]若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的边数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

2.[2018湖南邵阳中考改编]如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一个外角∠ADE=60°,则∠B的度数是(　　)

A.30° B.40° C.50° D.60°

(第2题)　　(第3题)

3.[2018山东济宁]如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是(　　)

A.50°　　 B.55°　　 C.60°　　 D.65°

4.[2018上海中考改编]通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有4条,那么该多边形的内角和是　　　　°. 

5.[2018山东聊城]如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是　　　　. 

6.[2018江苏南京]如图,五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2,则∠1-∠2=　　　　°. 

考点2　平行四边形的性质

7.[2018四川宜宾]在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不能确定

8.[2017黑龙江鸡西]在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD的周长是(　　)

A.22 B.20 C.22或20 D.18

9.[2017山东青岛]如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为(　　)

A. B. C. D.

(第9题)　　(第10题)

10.[2018江苏常州]如图,在▱ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB=　　　　. 

11.[2018湖南衡阳]如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M,连接CM.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是　　　　. 

(第11题)　　(第12题)

12.[2018湖南株洲]如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,恰有BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3.在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP=　　　　. 

13.(6分)[2018福建A]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.

考点3　平行四边形的判定

14.[2016湖北天门]在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　)

A.一组对边平行,另一组对边相等

B.一组对边相等,一组对角相等

C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线

D.一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线

15.(8分)[2017山西]已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.

求证:OE=OF.

1.[2017周口地区模拟]如图,如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么∠1的度数是 (　　)

A.30°　　　 B.15°　　　 C.18°　　　 D.20°

(第1题)　　(第2题)

2.[2018洛阳三模]如图,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为(　　)

A.4 B.3 C. D.2

3.[2018南阳地区模拟]如图,平行四边形ABCD的顶点B,D都在反比例函数y=(x>0)的图象上,点D的坐标为(2,6),AB∥x轴,点A的坐标为(0,3),将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为(　　)

A.(1,3) B.(4,3) C.(1,4) D.(2,4)

(第3题)　　(第4题)

4.[2017平顶山一模改编]如图,在▱ABCD中,BC=20 cm,CD=20 cm,∠A=45°,动点P从点B出发,沿BC向点C运动,同时动点Q从点D出发,沿DB向点B运动,点P和点Q的运动速度分别为3 cm/s和2 cm/s,其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t s,当△BPQ是直角三角形时,t的值为(　　)

A.4 B. C.或4 D.6

5.[2018周口地区模拟]如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,AC⊥BC,且AB=10 cm,AD=8 cm,则OB=　　　　cm. 

(第5题)　(第6题)

6.[2018南阳三模]如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一点,且BM=9 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,同时点F从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t=　　　　. 

7.(9分)[2018广东中山一模]如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.

(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;

(2)若∠ABC=60°,BD=4,求▱ADEF的面积.

第二节　矩形、菱形和正方形

考点1　矩形的性质

1.[2017浙江衢州]如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于(　　)

A. B. C. D.

(第1题)　　(第2题)

2.[2018贵州遵义]如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为(　　)

A.10 B.12 C.16 D.18

3.[2018山东威海]矩形ABCD与矩形CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=(　　)

A.1 B. C. D.

(第3题)　　(第4题)

4.[2018湖南株洲]如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为　　　　. 

5.[2018江苏连云港]如图,E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,则AB的长为　　　　. 

6.(9分)[2018湖南张家界]如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.

(1)求证:DF=AB;

(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长.

7.(9分)[2018江苏连云港]如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,连接AC,DF.

(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;

(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.

考点2　矩形的判定

8.[2018上海]已知▱ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是(　　)

A.∠A=∠B　 B.∠A=∠C

C.AC=BD D.AB⊥BC

9.(9分)[2017四川达州]如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC,分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.

(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;

(2)连接AE,AF,问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

考点3　菱形的性质

10.[2017湖南益阳]下列性质中菱形不一定具有的是(　　)

A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直

C.对角线相等

D.既是轴对称图形又是中心对称图形

11.[2017内蒙古赤峰]如图,将边长为4的菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=2,则∠A=(　　)

A.120°　　　　 B.100°　　　 C.60°　　　　 D.30°

(第11题)　　(第12题)

12.[2018江苏宿迁]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(　　)

A. B.2 C.2 D.4

13.[2017山东莱芜]如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点(CM

A. B. C. D.

(第13题)　　　(第15题)

14.[2018贵州黔西南州]已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为2,则这个菱形的面积是　　　　. 

15.[2018浙江宁波]如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cos B的值为　　　　　. 

考点4　菱形的判定

16.[2017山东临沂]在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是(　　)

A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形

B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形

C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形

D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形

17.(9分)[2017云南]如图,△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E,F分别是AB,AC的中点.

(1)求证:四边形AEDF是菱形;

(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.

考点5　正方形的性质与判定

18.[2018广西梧州]如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是(　　)

A.(-6,2) B.(0,2)

C.(2,0) D.(2,2)

(第18题)　　(第19题)

19.[2018湖北宜昌]如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB, EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为点G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于(　　)

A.1　　　　 B.　　　C.　　　　 D.

20.[2017甘肃兰州]在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:　　　　　(写出所有正确的序号). 

21.(9分)[2018贵州遵义]如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE

(1)求证:OM=ON.

(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.

1.[2018洛阳二模]如图,在▱ABCD中,AM,CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(　　)

A.AM=AN B.MN⊥AC

C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD=120°

(第1题)　　(第2题)

2.[2017洛阳三模]如图,点E,F分别是边长为4的正方形ABCD的边AD,AB上的动点,且AF=DE,BE交CF于点P,在点E,F运动的过程中,PA的最小值为(　　)

A.2 B.2 C.4-2 D.2-2

3.[2018南阳地区模拟]如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D',连接D'B,若△D'BC为等边三角形,则DE=　　　　. 

4.(9分)[2018新乡一模]如图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,点O是AC的中点,连接DO并延长到点E,连接AE,恰有AE∥BC,连接EC.

(1)求证:四边形ADCE是矩形;

(2)①若AB=17,BC=16,则矩形ADCE的面积为　　　　; 

②若AB=10,则BC=　　　　时,四边形ADCE是正方形. 

5.(9分)[2018信阳地区模拟]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,CF平分∠ACD交AD于点F,连接EF,交AC于点O,点M为EC的中点,点N为AE上的一个动点(不与点A,E重合),AB=6.

(1)求证:△ABE≌△CDF;

(2)填空:①当BC=　　　　时,四边形AECF为菱形; 

②在①的条件下,当ON=　　　　时,四边形ONMC为平行四边形. 

参考答案

第一节　平行四边形(含多边形)

真题分点练

1.D　易得该正多边形的边数为360°÷60°=6.

2.B　∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°.∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°,∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.

3.C　∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故选C.

4.900　从该多边形的一个顶点出发的对角线共有4条,则对角线将多边形分割为5个三角形,所以该多边形的内角和是5×180°=900°.

5.540°,360°或180°　分三种情况讨论:①当该多边形是三角形时,其内角和为180°;②当该多边形是四边形时,其内角和为360°;③当该多边形是五边形时,其内角和为(5-2)×180°=540°.

6.72　如图,过点B作BF∥l1,∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=108°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠3=180°-∠1,∠4=∠2,∴180°-∠1+∠2=∠ABC,∴∠1-∠2=180°-∠ABC=72°.

7.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADC,∴∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠AED=90°,∴△ADE是直角三角形.

8.C　记∠BAD的平分线交BC于点E.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE.①当BE=3,EC=4时,AB=3,平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(3+3+4)=20.②当BE=4,EC=3时,AB=4,平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+4+3)=22.故选C.

9.D　∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=,∴AO2+AB2=BO2,∴△ABO是直角三角形,∠BAO=90°,∴BC===.∵S△ABC=AB·AC=BC·AE,∴××2=×·AE,解得AE=.

10.40°　∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=70°.∵DC=DB,∴∠DBC=∠C=70°,∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.

11.16　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,又∵OM⊥AC,∴AM=MC,AD+CD=AM+MD+CD=MC+MD+DC=8,∴▱ABCD的周长是2×8=16.

12.6　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.∵BD=CD,∴BD=BA,又∵AM⊥BD,DN⊥AB,∴AM=DN=3.∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠PAB,∴∠P=∠MAP,∴△APM是等腰直角三角形,∴AP=AM=6.

13.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OD=OB,AD∥BC,

∴∠ODE=∠OBF.(3分)

又∵∠DOE=∠BOF,

∴△DOE≌△BOF,

∴OE=OF.(6分)

14.C　在A中,一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形;在B中,可举一反例,如图(1),作∠B,在∠B的一边上取点A,以点A为圆心,任意长度为半径(要能与∠B的另一边相交)画弧,交∠B另一边于点E,C,连接AE,AC.以点C为圆心,以AB的长为半径画弧,以点A为圆心,以BE的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD满足AB=CD,∠B=∠D,但很明显四边形ABCD不是平行四边形;在C中,如图(2)所示,可见AB∥CD,OA=OC,因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO,又OA=OC,∠AOB=∠COD,所以△AOB≌△COD,所以AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形;在D中,举一反例,如图(3),∠ABC=∠ADC,AC平分BD,但显然四边形ABCD不是平行四边形.故选C.

15.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD.(2分)

∵BE=DF,

∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.(4分)

连接AF,CE,则四边形AFCE是平行四边形,(7分)

∴OE=OF.(8分)

模拟提升练

1.C　∵正五边形每个内角的度数是×(5-2)×180°=108°,正方形每个内角的度数是90°,∴∠1=108°-90°=18°.故选C.

2.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB=2CD,∴AD=2DE,∴DE=AE=3,∴AB=DE=3.故选B.

3.B　∵点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,点D的坐标为(2,6),∴k=2×6=12,∴y=.∵点A的坐标为(0,3),∴点B的纵坐标为3,令3=,解得x=4,∴点B的坐标为(4,3).又∵四边形ABCD是平行四边形,AB∥x轴,D(2,6),∴C(6,6).将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为(4,3).故选B.

4.C　过点D作DH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=45°,∴DH=CH.∵CD=20 cm,∴DH=CH=10 cm,∴BH=BC-CH=20-10=10(cm),∴BH=CH,∴BD=CD=20 cm,∴∠DBC=∠C=45°.当∠BPQ=90°时,如图(1),BQ=BP,∴20-2t=×3t,解得t=.当∠BQP=90°时,如图(2),BP=BQ,∴3t=(20-2t),解得t=4.故选C.

　　　　　　　图(1)　　　　　　　　　　图(2)

5.　∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8 cm,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC===6(cm),∴OC=AC=3 cm,∴OB===(cm).

6.或　由题可知,AE=t cm,CF=3t cm,CM=3 cm.①当点F在线段BM上,且AE=FM时,四边形AFME是平行四边形,此时有t=3t-3,解得t=;②当点F在线段CM上,且AE=FM时,四边形AMFE是平行四边形,此时有t=3-3t,解得t=.综上所述,t=或时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

7.(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,

∴∠ABD=∠DBE.

∵DE∥AB,

∴∠ABD=∠BDE,

∴∠DBE=∠BDE,

∴BE=DE.

∵BE=AF,

∴AF=DE,

∴四边形ADEF是平行四边形. (4分)

(2)过点E作EH⊥BD于点H,则BH=HD=2.

∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,

∴∠EBD=30°,

∴EH=BHtan∠EBD=2tan 30°=,

∴S△BDE=BD·EH=×4×=,

又∵AB∥DE,

∴S▱ADEF=2S△BDE=. (9分)

第二节　矩形、菱形和正方形

真题分点练

1.B　∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAF.由折叠的性质可知∠ACB=∠ACF,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.设DF=x,则CF=AF=6-x.在Rt△CDF中,由勾股定理得CF2=CD2+DF2,即(6-x)2=42+x2,解得x=,故DF的长为.

2.C　如图,过点P作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,则四边形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,∴S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,又∵S△ADC=S△ABC,∴S△PBE=S△DFP=×2×8=8,∴=8+8=16,故选C.

3.C　延长GH,交AD于点P,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,∴∠ADG=∠ADC=∠CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠PAH=∠GFH,又∵H是AF的中点,∴AH=FH.又∠AHP=∠FHG,∴△APH≌△FGH,∴AP=GF=1,GH=PH=PG,∴PD=AD-AP=1.∵CG=2,CD=1,∴DG=1,∴GH=PG=×=.故选C.

4.2.5　∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=10,∴OD=BD=5.∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=OD=2.5.

5.2　连接BD.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠DCB=90°,BD=AC=.∵CG=DG,CF=FB,∴GF=BD=.∵AG⊥FG,∴∠AGD+∠CGF=90°,又∵∠DAG+∠AGD=90°,∴∠DAG=∠CGF,∴△ADG∽△GCF,∴=.设CF=BF=a(a>0),CG=DG=b(b>0),则=,∴b2=2a2,∴b=a.在Rt△GCF中,b2+a2=,∴a=,∴AB=2b=2.

6.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∠B=90°,

∴∠AEB=∠DAF.

又∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B.

又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB.(4分)

(2)∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,

∴∠DAF=∠FDC=30°,

∴AD=2DF.

∵DF=AB=4,

∴AD=2AB=8.(9分)

7.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.

∵E是AD的中点,

∴AE=DE.

又∵∠FEA=∠CED,

∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,

又∵CD∥AF,

∴四边形ACDF是平行四边形.(4分)

(2)BC=2CD.(5分)

理由:∵CF平分∠BCD,

∴∠DCE=∠BCD=45°.

∵∠CDE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,

∵E是AD的中点,

∴AD=2CD,

又∵AD=BC,

∴BC=2CD.(9分)

8.B　根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知选项A,C,D中的条件均可以判定▱ABCD是矩形,而B中的条件不能判定.故选B.

9.(1)由题可知,∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.

∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,

∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,

∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°.

在Rt△CEF中,由勾股定理得EF==10,

∴OC=EF=5.(5分)

(2)当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.

理由如下:

当O为AC的中点时,AO=CO,

又∵EO=FO,

∴四边形AECF是平行四边形.

由(1)可知∠ECF=90°,

∴▱AECF是矩形.(9分)

10.C　根据菱形的性质可知,菱形的对角线互相垂直平分,且菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其对角线不一定相等. 故选C.

11.A　连接OA,交EF于点G.∵点A与点O关于直线EF对称,点O是菱形对角线的交点,∴AO⊥EF,AO⊥BD,AG=OG,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位线,∴BD=2EF=4,∴OD=2.∵菱形ABCD的边长为4,∴sin∠OAD===,∴∠OAD=60°,∴∠BAD=120°.

12.A　过点D作DH⊥AB于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,AB=BC=CD=AD.∵菱形ABCD的周长为16,∴AB=AD=4.∵∠BAD=60°,∴DH=4×=2,∴S菱形ABCD=4×2=8,∴S△ACD=×8=4.∵点E为边CD的中点,AO=CO,∴OE为△ADC的中位线,∴OE∥AD,∴△CEO∽△CDA,∴=()2=,∴S△OCE=×4=.故选A.

13.A　如图,作点M关于直线AC的对称点M',则点M'在DC上,且CM'=CM=2.连接BM',交AC于点P,此时PB+PM的值最小,为BM'的长.过点B作BE⊥CD于点E. ∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∴CE=BC=3,BE=3,则EM'=3-2=1. 在Rt△BEM'中,由勾股定理可得BM'==2.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴△ABP∽△CM'P,∴==,又∵BP+PM'=2,∴PM'=,即PM=.

14.2　依照题意画出图形,如图所示.菱形ABCD的边长是2,设对角线的交点为O.在Rt△AOB中,AB=2,OB=,∴OA==1,∴AC=2OA=2,∴S菱形ABCD=AC·BD=×2×2=2.

15.　如图,延长DM,交CB的延长线于点F,连接ED.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.∵点M是AB的中点,AB=2,∴EM=AM=BM=1.∵AD∥BC,∴∠MAD=∠MBF,∠ADM=∠F,∴△AMD≌△BMF,∴BF=AD=2,MF=MD.∵∠EMD=90°,∴EM⊥DF,即EM垂直平分DF,∴ED=EF.设BE=x,则DE=EF=x+2.在Rt△ABE中,AE2=AB2-BE2=22-x2.在Rt△ADE中,AE2=DE2-AD2=(x+2)2-22,∴22-x2=(x+2)2-22,解得x1=-1+,x2=-1-(不合题意,舍去),∴BE=-1.在Rt△ABE中,cos∠ABE==.

16.D　∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.当AD⊥BC或BD=CD时,无法推理出平行四边形AEDF是特殊平行四边形,故选项A,C中的说法错误.当AD垂直平分BC时,AB=AC,且DE,DF是△ABC的中位线,∴AE=AF=DE=DF,∴四边形AEDF是菱形,故选项B中的说法错误.当AD平分∠BAC时,由AE∥DF得∠ADF=∠DAE=∠DAF,∴AF=DF,∴平行四边形AEDF是菱形,故选项D中的说法正确.

17.(1)证明:∵AD⊥BC,点E,F分别是AB,AC的中点,

∴DE=AE=AB,DF=AF=AC.

又∵AB=AC,∴AE=AF=DE=DF,

∴四边形AEDF是菱形.(4分)

(2)如图,连接EF,交AD于点O.

∵菱形AEDF的周长为12,∴AE=3.

设EF=x,AD=y,则x+y=7,∴x2+2xy+y2=49.①

∵四边形AEDF是菱形,∴AO=DO,EO=FO,AD⊥EF.

在Rt△AOE中,AO2+EO2=AE2,

∴(y)2+(x)2=32,即x2+y2=36.②

把②代入①,得2xy=13,∴xy=,

故菱形AEDF的面积S=xy=.(9分)

18.B　∵四边形ABCD是正方形,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),∴D(-3,2),∴平移后点D的坐标是(0,2),故选B.

19.B　观察题图可知,阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半,正方形ABCD的面积为1,故阴影部分的面积为,故选B.

20.①③④　在▱ABCD中,∵AB⊥AD,∴▱ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴▱ABCD是正方形,故条件①正确;由AB⊥BD可知边AB与对角线BD的夹角为90°,∴▱ABCD不可能是正方形,故条件②错误;由OB=OC可知AC=BD,∴▱ABCD是矩形,又∵OB⊥OC,∴▱ABCD是正方形,故条件③正确;∵AB=AD,∴▱ABCD是菱形,又∵AC=BD,∴▱ABCD是正方形,故条件④正确.综上所述,条件①③④正确.

21.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,AC⊥BD,

∴∠OAM=∠OBN=135°,∠AOB=90°,

又∵∠EOF=90°,

∴∠AOM=∠BON,

∴△OAM≌△OBN,

∴OM=ON.(4分)

(2)过点O作OH⊥AD于点H,

则OH∥AB,OH=DH=AH=AD=2,

又∵E为OM的中点,∴MA=AH=2,

∴HM=4,∴OM==2,

∴MN=OM=2.(9分)

模拟提升练

1.D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAM=∠AMB,又由题意知∠BAM=∠DAM,∴∠BAM=∠AMB,∴BA=BM,同理DN=DC,∴BM=DN,∴BC-BM=AD-DN,即CM=AN,∴四边形AMCN是平行四边形.A项中,∵AM=AN,∴平行四边形AMCN是菱形.B项中,∵MN⊥AC,∴平行四边形AMCN是菱形.C项中,∵AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴平行四边形AMCN是菱形.D项中,根据∠BAD=120°和四边形AMCN是平行四边形,不能推出四边形AMCN是菱形.故选D.

2.D　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠BAE=∠ABC=90°.∵AF=DE,∴AE=BF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF,∴∠ABE=∠BCF.∵∠ABE+∠CBP=90°,∴∠BCF+∠CBP=90°,∴∠BPC=90°,则点P在以BC为直径的圆上运动.如图,取BC的中点O,连接OP,OA,则OP=BC=2.在Rt△AOB中,OA===2.根据两点之间,线段最短,得OP+AP≥OA,∴当O,P,A三点共线时,AP的长度最小,为2-2.故选D.

3.2-2或+1　∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,∴CD=AB=2,∠D=∠ABC=30°,∠BCD=150°.∵△D'BC为等边三角形,∴∠BCD'=60°.①当点E在边AD上时,如图(1)所示,过点E作EF⊥CD,垂足为点F,则∠CEF=∠FCE=(∠BCD-∠BCD')=45°,∴CF=EF.在Rt△DEF中,∠D=30°,∴EF=DE.设EF=x,则DE=2x,CF=x,FD=x.∵CF+FD=CD=2,∴x+x=2,解得x=-1,∴DE=2x=2-2.②当点E在DA的延长线上时,如图(2),过点B作BH⊥AD,交DA的延长线于点H.由折叠可知∠ED'C=∠D=30°.∵∠BD'C=60°,∴D'E为∠BD'C的平分线.又∵△BD'C是等边三角形,∴D'E⊥BC,∴D'E⊥AD.∵∠ABC=30°,∴∠BAH=30°,又∵AB=2,∴AH=.设D'E与BC的交点为G,则EH=BG=BC=1,∴AE=-1,∴DE=+1.

　　　　　　图(1)　　　　　　　　　　图(2)

4.(1)证明:∵AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,∴BD=DC,∠ADC=90°.

∵点O是AC的中点,∴AO=OC,∴OD∥AB,

又∵AE∥BC,

∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD,

∴AE=DC,

∴四边形ADCE是平行四边形,

∵∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.(5分)

(2)①120(7分)

②10(9分)

5.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D=90°,

∴∠BAC=∠ACD.

∵∠BAE=∠BAC,∠DCF=∠ACD,

∴∠BAE=∠FCD.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF.(5分)

(2)①6(7分)

②2(9分)

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