1.如图，四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为矩形，SD 底面

ABCD , AD ,2 , DC SD 2 ,点 M 在侧棱 SC 上，

J o

∠ ABM=60。

(I)证明：M是侧棱SC的中点；

求二面角S AM B的大小。

2.如图，直三棱柱 ABC-AιBιCι中，AB丄AC,D、E分别为 AAi、BiC的中点，DE丄平面 BCCI(I)

证明：AB=AC (∏)设二面角 A-BD-C为60°,求BiC与平面BCD所成的角的大小

3.如图，DC 平面 ABC, EB//DCB AC BC EB

别为AElAB的中点.(I)证明：PQzz平面ACD ；

4.如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，

PD 底面ABCD ,点E在棱PB上.(I)求证：平面

AEC 平面PDB ； (∏)当PD . 2AB且E为PB的中点

5.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形,

AB 2 .以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交 PD于点M

(1)求证：平面ABM丄平面PCD ;

(2)求直线PC与平面ABM所成的角；

(3)求点O到平面ABM的距离.

PM // 平面 BCE

(Hl )求二面角F BD A的大小。

DE = a(0< W 1). (I )求证：对任意的

(∏ )若二面角C-AE-D的大小为600C,求 的值。

8•如图3,在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=4, AA V7 ,

点D是BC的中点，点E在AC上，且DE A1E. (I)证 明：平面AQE 平面ACC1A1 ； (∏)求直线 AD和平面

ADE所成角的正弦值。

9.如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直，△ ABE是等腰直角

三角形， AB AElFA FEl AEF 45

(I)求证：EF 平面BCE ；

(II)设线段CD、AE的中点分别为P、M ,

求证：PM //平面BCE

(Hl )求二面角F BD A的大小。

形ABFE为平行四边形，FA 平面ABCD , FC 3,ED 一7 •求:

（I）直线 AB到平面EFCD的距离；

（∏）二面角 F AD E的平面角的正切值.

题（18）图

11.如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,

ABCD .

⑴证明：FA⊥ BD;

⑵设PD = AD ,求二面角 A- PB — C的余弦值.

12 （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，

AB PCD ,AC BD ,垂足为 H ,

PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

(1)证明：PE BC

(2) 若 APB= ADB=60°求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

(3)参考答案

设 MN X ,则 NC EB X,

(II)分析一:利用三垂线定理求解。 在新教材中弱化了三垂线定理。 这两年高考中求二面角

也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ // CD交SD于J ,作SH AJ交AJ于H ,作HK AM交AM于K ,则 JM // CD, JM 面SAD,面SAD 面MBA,SH 面AMB SKH即为所求二面角的补

角∙

法二：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM中过点B作BF AM交AM于点F ,则

点F为AM的中点，取SA的中点G,连GF,易证GF AM ,贝U GFB即为所求二面角∙

解法二、 分别以 DA、DC、DS为X、y、Z轴如图建立空间直角坐标系 D — XyZ,则

A( .2,0,0), B( .2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。

(I)设 M (0,a,b)(a 0,b 0)，则

BA (0, 2,0),BM ( 2,a 2,b),SM (0,a,b 2),

SC (0,2, 2),由题得

1

CoS BA, BM

_ _ 2，即

SM // SC

2(a 2) 1

2 √a 2)2 b2 2 2解之个方程组得a 1,b 1即M(0,1,1)

2a 2(b 2)

所以M是侧棱SC的中点。

又 AB (0,2,0), MB, AB 60°

故 MB ? AB | MB | | AB | cos60° ,即

—2 ( 2 )2 ( 2 )2 ,解得 1，

1 . 1 1

所以M是侧棱SC的中点。

(∏)由(I)得 M(0,1,1),MA (2, 1, 1),又 AS ( .2,0,2), AB (0,2,0),

3

1

2、解法一：(I)取BC中点F,连接EF,则EF ,从而EF DA。

2

连接AF ,则ADEF为平行四边形，从而 AF//DE。又DE丄平面BCC1 ,故AF丄平面BCC1 ,从

而AF丄BC,即AF为BC的垂直平分线，所以 AB=ACO

(∏)作AG ⊥ BD,垂足为 G,连接CG。由三垂线定理知 CG丄BD,故∠ AGC为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知，∠ AGC=6O0ι

设 AC=2,贝U AG= - o 又 AB=2, BC=2 .2 , 故 AF= 2 。

√3

由 AB AD AG BD 得 2AD= 2 . . AD2 22 ,解得 AD=

√3

(∏)设平面 BCD 的法向量 AN (X) y, Z))则 AN BC O)AN BD 0. 又 BC= (-1, 1, 0),

X y 0

BD = (-1, 0 , C)故

X Cz 0

1 1

令 x=1 ,则 y=1, z= AN =(1,1,-).

C C

又平面ABD的法向量AC = (0, 1, 0)

由二面角 A BD C 为 60°知， AN,AC =60°,

1

3、(1)证明：连接DPlCQ , 在 ABE中，PlQ分别是AElAB的中点，所以PQ//—BE ,

2

1

又DC //- BE ,所以PQ// DC ,又PQ 平面ACD , DC 平面ACD,所以PQ//平面ACD 2

(∏)在 ABC 中，AC BC 2, AQ BQ ,所以 CQ AB

而DC 平面ABC, EB// DC ,所以EB 平面ABC

而EB 平面ABE ,所以平面ABE 平面ABC ,所以CQ 平面ABE

由(I)知四边形 DCQP是平行四边形，所以 DP //CQ

所以DP 平面ABE ,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP , 所以直线AD与平面ABE所成角是 DAP

在 Rt APD 中，AD . AC2 DC2 22 12 5 , DP CQ 2sin CAQ 1

4、【解法 U(I)V四边形 ABCD是正方形，∙∙∙ AC⊥ BD ,

∙∙∙ PD 底面 ABCD , ∙ PD 丄 AC,： AC 丄平面 PDB ,

∙平面AEC 平面PDB .

(∏)设 AC ∩BD=O ,连接 OE,

由（I）知AC⊥平面PDB于O,

∙∙∙∠ AEO为AE与平面PDB所的角，

∙∙∙ O, E分别为DB、PB的中点，

1亠十

∙ OE//PD, OE - PD ,又∙∙∙ PD 底面 ABCD ,

2

∙ OE ⊥底面 ABCD , OE 丄 AO,

1 √2

在 Rt△ AOE 中，OE -PD AB AO ,

2 2

∙ AOE 45 ,即AE与平面PDB所成的角的大小为 45 .

【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 D XyZ ,

设 AB a, PD h,

∙ AC 丄 DP , AC 丄 DB ,∙ AC ⊥平面 PDB ,

∙平面AEC 平面PDB .

(∏)当 PD √2AB 且 E 为 PB 的中点时，P 0,0λ. 2a ,E 丄 a, 1a,=2a ,

2 2 2

设 AC ∩BD=O ,连接 OE ,

由（I）知AC⊥平面PDB于O, ∙∠ AEO为AE与平面PDB所的角,

多面体 ABCDEF 的体积为 VE — ABCD + Ve— BCF = 2'-2

5、解：方法(一)：

(1)证：依题设，M在以ED为直径的球面上，则BM⊥PD

因为PA⊥平面ABCD ,则PA⊥AB ,又AB⊥AD,

所以AB⊥平面PAD, 则AB⊥PD, 因此有PD⊥平面ABM,

(2)设平面ABM与PC交于点N, 因为AB//CD, 所以A

B//平面 PCD ,则 AB/MN/CD,

由(1)知，PD⊥平面ABM,贝U MN是PN在平面 ABM上的

射影，

所以 PNM就是PC与平面ABM所成的角, 且 PNM PCD

PD 厂

tan PNM tan PCD 2、2

DC

所求角为arcta n2 2

(3)因为O是BD的中点，贝U O点到平面ABM的距离等于 D点到平面ABM距离的一半，由

(1)知，PD⊥平面ABM于 M ,则IDMl就是D点到平面 ABM距离.

因为在RtA PAD中，PA AD 4 , PD AM ,所以M为PD中点，DM 2.2 ,则O点 到平面ABM的距离等于 J O

2^2 所求角的大小为arcsin .

3

UUr

(3)设所求距离为 h ,由 O(1,2,0), AO (1,2,0),得：h

6、【解析】解法一：

因为平面 ABEF丄平面 ABCD , BC 平面 ABCD , BC丄AB ,平面 ABEF ∩平面ABCD=AB, 所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥ EF.

因为"ABE为等腰直角三角形，AB=AE ,

所以∠ AEB=45° ,

又因为∠ AEF=45,

所以∠ FEB=90°，即 EF 丄 BE.

因为BC 平面 ABCD, BE 平面BCE,

BC ∩BE=B

所以EF 平面BCE

6 分

A

(II )取BE的中点N,连结CN,MN,则MN 1AB PC

2

∙∙∙ PMNC为平行四边形，所以PM // CN.

∙∙∙ CN在平面 BCE内,PM不在平面 BCE内,

∙ PM //平面 BCE. 8 分

(III )由EA丄AB,平面 ABEF丄平面 ABCD,易知EA丄平面 ABCD.

作FG丄AB,交BA的延长线于 G贝U FG // EA.从而FG丄平面 ABCD,

作GH⊥ BD于H,连结FH ,则由三垂线定理知 BD丄FH.

∙ ∠ FHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,∠ AEF=45° ,

∠ AEF=90°, ∠ FAG=45°

√2 1

设 AB=1,则 AE=1,AF^-则 FG AF Sin FAG —

2 ' 2

1 3

在 Rt"BGH 中，∠ GBH=45°,BG=AB+AG=1+ -=—,

解法二：因 ABE等腰直角三角形， AB AE,所以AE AB

又因为平面 ABEF 平面ABCD AB ,所以AE丄平面ABCD ,

所以AE AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系 ，

(I)设 AB 1 ,则 AE 1，B(0,1,0), D(1,0,0), E(0,0,1),C(1,1,0)

∙∙∙ FA FE, AEF 45 ,二 AFE =90°,

1 1

从而 F(0,—-)

2 2

1 1 — —

EF (0, -, 2，BE (0, 1,1), BC (1,0,0)

一 一 1 1 一 一

于是 EF BE 0 0 , EF BC 0

2 2

EF 丄 BE, EF 丄 BC

∙∙∙ BE 平面 BCE , BC 平面 BCE , BC BE B

∙∙∙ EF 平面 BCE

11 - 1 1 (II) ,从而 PM ( 1,討)

故二面角F BD A的大小为arccos乞丄1

11

7、（I）证发1:连接BD,由底面是正方形可得 AC BD。

SD 平面AECD, BD是BE在平面 ABCD上的射影，

由三垂线定理得 AC BE.

（II）解法 1 : SD 平面 ABCD, CD 平面 ABCD, SD CD.

又底面ABCD是正方形， C D A D,又SD AD=D, CD 平面SADO

过点D在平面SAD内做DF AE于F ,连接CF ,则CF AE,

故 CFD是二面角 C-AE-D的平面角，即 CFD =60°

在 RtAADE 中， AD= a, DE= a , AE=a . 2 1 。

由正三棱柱 ABC AlBICI的性质知AAl平面ABC.

又 DE 平面 ABC,所以 DE AA1.而 DE A1E, AAI I A1E A1,

故平面Al DE丄平面ACC1Al .

(∏)解法1:过点A作AF垂直A E于点F , 连接DF.由(I)知，平面 A1DE丄平面ACCIAI , 所以AF 平面A1DE ,故 ADF是直线AD和 平面A∣DE所成的角。因为DE ACCiAi , 所以DE AC.而 ABC是边长为4的正三角形,

1

于是 AD= 2 3 , AE= 4-CE =4- CD =3.

2

又因为 AA 77，所以 AE= AlE Jaa2 AE2 J(T7)2 32 = 4,

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。

9、【解析】解法一：

因为平面 ABEF丄平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BC丄AB ,平面 ABEF ∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥ EF.

因为"ABE为等腰直角三角形，AB=AE ,

所以∠ AEB=45° ,

又因为∠ AEF=45,

所以∠ FEB=90° ,即 EF 丄 BE.

因为BC 平面 ABCD, BE 平面BCE,

BC ∩BE=B

所以EF 平面BCE

A

(II )取BE的中点N,连结CN,MN,则MN 丄AB PC

2

∙∙∙ PMNC为平行四边形，所以PM // CN.

∙∙∙ CN在平面 BCE内,PM不在平面 BCE内,

∙ PM //平面 BCE. 8 分

(Hl )由EA丄AB,平面 ABEF丄平面 ABCD,易知EA丄平面 ABCD.

作FG丄AB,交BA的延长线于 G贝U FG // EA.从而FG丄平面 ABCD,

作GH⊥ BD于H,连结FH ,则由三垂线定理知 BD丄FH.

∙ ∠ FHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,∠ AEF=45°∠ AEF=90°, ∠ FAG=45°.

设 AB=1,贝U AE=1,AF=~22,则 FG

在 Rt"BGH 中,∠ GBH=45°,BG=AB+AG=1+1 =3

2 2 '

GH 3

√2 面角F BD A的大小为arc tan 一

3

12分

解法二：因 ABE等腰直角三角形， AB AE,所以AE AB

又因为平面 ABEF 平面ABCD

AB ,所以AE丄平面ABCD ,所以AE

AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系

(I)设 AB

1 ,则

AE 1 , B(0,1,0),D(1,0,0), E(0,0,1),C(1,1,0)

45

AFE =90 ,

BE

疋

(0,

1,1), BC (1,0,0)

EF BC 0

EF 丄 BE,EF 丄 BC

∙∙∙ BE 平面 BCE , BC 平面 BCE , BC BE

∙ EF 平面BCE

Z λ 1 1 —' 1 1

(||)m(o,o,2),p(1,2,°),从而 PM ( 1, 2,2)

1、 C 1 -)0

2 4

(0, 1

于是 PM EF ( 1, 1,1

2 2'、 2

∙∙∙ PM丄EF ,又EF丄平面BCE , 故PM //平面BCE

直线PM不在平面BCE内,

(III)设平面BDF的一个法向量为n1 ,

并设 n1 =( x, y,z)

3 1

BD (1, 1,0), BF (0, 2’?

取平面ABD D的一个法向量为n2 (0,0,1)

一 一 n1 n2 3 3 11

COS 厲、2 —__T

m n2 山1 1 11

故二面角F BD A的大小为arccos^11

11

10、解法一 ：(I) Q AB PDC,DC 平面EFCD, AB到面EFCD的距离等于点 A至価

EFCD 的距离，过点 A 作 AG FD 于 G,因 BAD — AB // DC ,故 CD AD ；又Q FA

2

平面ABCD ,由三垂线定理可知， CD FD ,故CD 面FAD ,知CD AG ,所以AG为 所求直线AB到面EFCD的距离。

在 RtA ABC 中，FD . FC2 CD2 9 4 、5

由 FA 平面 ABCD ,得 FA AD,从而在 Rt△ FAC中, FA . FD2 AD2 •、5一4 1

AG

FA AD

FD

2 2 5 2 5

w。即直线AB到平面EFCD的距离为-r。

AFE 2

在 RtA AEF 中，FE . AE2 AF2 ~1

所以二面角F AD E的平面角的正切值为 .2 .

解法二：

tan

FE

FA

E

A

UlM UULr IUur

(I)如图以 A点为坐标原点，AB, AD, AF的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系

数,则

UUU UIUr

A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)设 F(O,O,z°) (Zo 0)可得 FC (2,2, Zo),由 IFCl 3.即

X2 2 22 Z 3,解得 F(0,0,1) Q AB // DC ,

DC 面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在

从而 BD2+ AD2= AB2,故 BD 丄 AD .

又PD丄底面ABCD ,可得BD丄PD .

所以BD丄平面FAD .故RA丄BD .

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线 DA为X轴的正半轴建立空间直角坐标 系 Dxyz.则 A(1 , 0, 0), B(0, 、、3 , 0), C(— 1, 、. 3 , 0), F(0, 0, 1).

UuL -

AB = (— 1,, 0),

设平面PAB的法向量为

即 X ^y 0

咼z 0 因此可取n = (I 3 , 1 , -⅛ ).

设平面PBC的法向量为m ,则

因此可以取n (1「乖),

UlJr

由 PA (1,0, 1),

可得

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/873a7ff25afafab069dc5022aaea998fcc224091.html