ode是专门用于解微分方程的功能函数,他有ode23,ode45,ode23s等等,采用的是Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶,五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)³。解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.
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[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名 www.iLoveMatlab.cn
tspan 是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf] book.iLoveMatlab.cn
y0 是初始值向量
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T 返回列向量的时间点 www.iLoveMatlab.cn
Y 返回对应T的求解列向量
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[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 《Simulink与信号处理》
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等 《Simulink与信号处理》
[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
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在设置了事件参数后的对应输出 www.iLoveMatlab.cn
TE 事件发生时间 book.iLoveMatlab.cn
YE 事件解决时间
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IE 事件消失时间
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sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...) book.iLoveMatlab.cn
sol 结构体输出结果
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1 求解一阶常微分方程
程序:
一阶常微分方程
odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数
《Simulink与信号处理》
tspan=[1 4]; %求解区间
y0=-2; %初值 《Simulink与信号处理》
[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);
plot(t,y) %作图
title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1
legend('t^2y''=y+3t')
xlabel('t') 《Simulink与信号处理》
ylabel('y')
% 精确解
% dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')
% ans =
一阶求解结果图
% (3*Ei(1) - 2*exp(1))/exp(1/t) - (3*Ei(1/t))/exp(1/t)
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2 求解高阶常微分方程
关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.
F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为列向量
dxdy=[y(1),y(2)....]
《Simulink与信号处理》
程序:
function Testode45
tspan=[3.9 4.0]; %求解区间
y0=[2 8]; %初值
[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);
plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')
legend('y1','y2')
title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t') book.iLoveMatlab.cn
xlabel('t')
ylabel('y')
function y=odefun(t,x)
y=zeros(2,1); % 列向量
y(1)=x(2);
y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);
end
end
高阶求解结果图
ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现(自己写的,非直接调用)
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高,采取措施对误差进行抑制,所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分,它在积分区间多预计算出几个点的斜率,然后进行加权平均,用做下一点的依据,从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法,如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作:y'=f(x,y),使用差分概念。
(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出(近似等于,极限为Yn')
Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)
另外根据微分中值定理,存在0
Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))
这里K=f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率,龙格库塔方法就是求得K的一种算法。
利用这样的原理,经过复杂的数学推导(过于繁琐省略),可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式:
K1=f(Xn,Yn);
K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);
K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);
K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);
Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);
所以,为了更好更准确地把握时间关系,应自己在理解龙格库塔原理的基础上,编写定步长的龙格库塔函数,经过学习其原理,已经完成了一维的龙格库塔函数。
仔细思考之后,发现其实如果是需要解多个微分方程组,可以想象成多个微分方程并行进行求解,时间,步长都是共同的,首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步,然后每走一步,对多个微分方程共同求解。想通之后发现,整个过程其实很直观,只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算函数:
function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称,初始值向量,步长,时间起点,时间终点(参数形式参考了ode45函数)
n=floor((b-a)/h);%求步数
x(1)=a;%时间起点
y(:,1)=y0;%赋初值,可以是向量,但是要注意维数
for ii=1:n
x(ii+1)=x(ii)+h;
k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));
k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2);
k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2);
k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3);
y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
%按照龙格库塔方法进行数值求解
end
调用的子函数以及其调用语句:
function dy=test_fun(x,y)
dy = zeros(3,1);%初始化列向量
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) + y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较,调用如下:
[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);
subplot(121)
plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果
title('ode45函数效果')
[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],0.25,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数,别忘记改变初始值的维数
subplot(122)
plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果
title('自编的 龙格库塔函数')
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/8211fbd428ea81c758f57893.html
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