浅谈三角形中位线定理的几种证法
康园中学校 张瑜
摘要:华师大数学九年级上册第23章中,学生学习了三角形中位线定理,对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究,总结了十种类型的方法,下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。共有十种不同的类型:动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。
关键词:三角形中位线定理、二十八种不同的证法。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。求证:DE‖BC,DE=BC。
一、类型一:动手操作法
方法1:度量法
华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的,七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力(即学生的动手操作和简单的说理验证),八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力(即严格地利用定理进行证明)。因此运用合情推理,可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用直尺分别量出DE、BC的长,看是否满足DE=BC,再用量角器分别量出∠ADE和∠B的度数,看是否相等,从而判断是否平行。
二、类型一:相似法
方法2:相似法一
根据AD=AB,AE=AC,∠DAE=∠BAC,从而得到△ADE∽△ABC。于是∠ADE=∠ABC,DE:BC=AD:AB=1:2。轻松得到DE‖BC,DE=BC。
方法3:相似法二
3、类型三:倍长法
方法4:中位线倍长法一:
这是常用的方法,也是北师大教材中使用的方法。延长DE至F,使EF=DE,连接FC,则△ADE≌△FEC,则AD//FC 且AD=FC,所以BD//FC 且BD=FC,则四边形DBCF是平行四边形。因DE=DF,则DE‖BC,DE=BC。
方法5:中位线倍长法二:
延长DE至F,使EF=DE,连接CF、DC、AF,则四边形ADCF为平行四边形,易知四边形BCFD为平行四边形,从而命题得证。
方法6:中线倍长法:
连接BE,延长BE至G,使EG=BE,连接CG,延长DE,交CG于F,则△ABE≌△CGE,得到AD//FC 易证四边形DBCF是平行四边形,从而命题得证。
4、类型四:平行法
方法7:外部平行一边法:
过C作CF//AB,交DE的延长线于F, 易证△ADE≌△CFE,得到DE=EF,AD=CF. 从而四边形BCFD是平行四边形, 从而命题得证。
方法8:外部平行底边法
过A作AF//BC,取BC中点为G,连接GD,延长GD,交AF于F,则△ADF≌△BDG,FD=DG,AF=BG,则AF=GC,则四边形AFGC是平行四边形,于是DG‖AC,DG=AC,则四边形DGCE是平行四边形,DE//BC,DE=GC,从而命题得证。
方法9:外部平行中位线法
过A作AF//DE,AF=DE,连接FE,延长FE,交BC于点G,则四边形AFED是平行四边形,FG//AB,从而得到BG=CG,△AEF≌△CEG,则BG=AF=DE=GC,FE=EG=AD=DB,则四边形BGED是平行四边形,从而命题得证。
方法10:内部平行一边法
过E作EF//AB,交BC于F,则△CEF∽△CAB,得到BF=FC,EF=AB=AD,∠A=∠FEC,利用“SAS”可以证明△ADE≌△EFC,得到DE=FC,∠AED=∠C,从而命题得证。
5、类型五:作高法
方法11:作底边高法
此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法。其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运用。首先回顾与中点有关的知识点——(1、全等;2、垂直平分线;3、等腰三角形三线合一;4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。)这时联想到第4个知识点中点但没有直角三角形,就必须构造出来,于是就要作高。过A作AF⊥BC于F,连接DF,EF。得到FD=BD=DA;FE=AE=EC。利用“SSS”证明△ADE≌△FDE,得到∠ADE=∠FDE,再运用三线合一得到AF⊥DE,再分别作DM⊥BC于F,EN⊥BC于N,于是四边形DMFG、ENFG、DMNE均为矩形,从而命题得证。
方法12:作中位线高法
分别过点A、B、C向中位线作垂线,垂足分别为F、M、N。易知△ADF≌△BDM,△AEF≌△CEN,则MD=DF,NE=EF,MN=2DE,MB//NC,MB=NC,得到四边形MBCN为矩形,从而命题得证。
七、类型七:构造法
方法13:构造矩形法
过点D作DF⊥BC于F,过点E作EG⊥BC于G,过A作MN//BC,分别与FD、GE的延长线交于M、N。则四边形MFGN为矩形,△MDA≌△FDB,△NEA≌△GEC,于是MN=FG,MD=DF=NE=EG,得到四边形DFGE为矩形,从而命题得证。
方法14:构造平行四边形法一
过点D、E作DF//EG,分别交BC于F、G,过点A作MN//EG,分别与FD、GE的延长线交于M、N。则四边形MFGN为平行四边形,与构造矩形法相同原理,从而命题得证。
方法15:构造平行四边形法二
过点A作AF//BC,且AF=BC,连接CF,延长DE,交CF于G,则四边形ABCF为平行四边形,AB//FC。得到△ADE≌△CGE,于是CG=AD=DB,则四边形BCGD为平行四边形,从而命题得证。
八、类型八:旋转法
方法16:旋转法一
因AE=EC,故可将△ADE绕点E顺时针旋转1800至△CFE。则△ADE≌△FEC,AD//FC,AD=FC,则BD//FC
方法17:旋转法二
因AE=EC,故可将△ABC绕点E顺时针旋转1800至△CFA。可得到四边形DBCG是平行四边形,从而命题得证。
方法18:旋转法三
连接BE,因AE=EC,故可将△ABE绕点E顺时针旋转1800至△CGE,则△ADE≌△CFE,△BDE≌△GFE,于是BD//FC,BD=FC,可得到四边形DBCF是平行四边形,从而命题得证。
九、类型九:同一法
方法19:同一法
过点D作DF//BC,交AC于F,△ADF∽△ABC,得到AF=AC。由已知条件中AE=EC,能够推出F与E为同一个点,从而命题得证。
十、类型十:反证法
方法20:反证法一
假设DE与BC不平行,设DE与BC交于点F。过点C作CG//BD,交DF于G,则△FGC∽△FDB,得到GC:DB= FG:FD ≠1,即GC≠DB。根据CG//BD可知,△CEG≌△AED,则GC=AD=DB,这与GC≠DB相矛盾,从而命题中的DE//BC得证。再根据DE//BC很容易证明DE=BC。
初中数学中的几何变换包括:平移、旋转、轴对称。我把这些方法分成了十种不同的类型,其中运用这三种变换都能达到证明的目的。因为有中点,所以倍长法与作高法和构造法都能构造全等三角形,并且还能自动生成对顶角,平行法相当于就是把线段进行平移,也能构造全等三角形,并生成对顶角,因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转,从而顺利地寻找到证明思路与方法。这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在AE=EC,且A、E、C在同一条直线上。
我们应该认真研究初中数学几何知识,发现其本质与联系,就能对几何证明达到融会贯通、运用自如的地步。要让学生对几何证明进行全方位地探求,抓住问题的全貌以及与问题相关的其他因素,进行多角度、多层次的思考与研究,唯有这样,我们才能使学生的思路更加宽广,思维更加灵活,培养出具有创造性思维能力的学生。
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