第一章 随机事件及其概率

第三节 事件的关系及运算

一、选择

1.事件表示 （ C ）

（A） 事件与事件同时发生 （B） 事件与事件都不发生

（C） 事件与事件不同时发生 （D） 以上都不对

2.事件，有，则（ B ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空

1.设表示三个随机事件，用的关系和运算表示⑴仅发生为

⑵中正好有一件发生为⑶中至少有一件发生为

第四节 概率的古典定义

一、选择

1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空

1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概率为

2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为

3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队被分在不同组内的概率为。

三、简答题

1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率

（1）A---任意3个盒子中各有一球；（2）B---任意一个盒子中有3个球；

（3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。

解：（1） （2） （3）

第五节 概率加法定理

一、选择

1.设随机事件和同时发生时，事件必发生，则下列式子正确的是（ C ）

(A) (B)

(C) (D)

2.已知，，。则事件、、全不发生的概率为（ B ）

(A) (B) (C) (D)

3.已知事件、满足条件，且，则（ A ）

(A) (B) (C) (D)

二、填空

1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为（0.97）

2.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25

3.袋中放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币。任取其中5个，则总数超过一角的概率是 0.5

三、简答题

1．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3

件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；

（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。

解：设事件表示取出的3件产品中有2件等品，其中=1，2，3；

（1）所求事件为事件、、的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故

=0.671

（2）设事件表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件表示取出的3件产品中等级各不相同，则

第六节 条件概率、概率乘法定理

一、选择

1.事件为两个互不相容事件，且，则必有( B )

(A) (B)

(C ) (D)

2.将一枚筛子先后掷两次，设事件表示两次出现的点数之和是10，事件表示第一次出现的点数大于第二次，则（ A ）

(A) (B) (C ) (D)

3.设、是两个事件，若发生必然导致发生，则下列式子中正确的是（ A ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空

1.已知事件的概率=0.5，事件的概率=0.6及条件概率=0.8，则和事件的概率 0.7

2.是两事件，则

三、简答题

1.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离便成为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米。假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。

解：设第次击中的概率为，（ =1，2，3）因为第次击中的概率与距离成反比，

所以设，（ =1，2，3）；

由题设，知，，代入上式，得到

再将代入上式，易计算出，

设事件表示猎人击中动物，事件表示猎人第次击中动物（=1，2，3），则所

求概率为:

第七节 全概率公式

一、选择

1．袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到新球的概率为 （ A ）

(A) (B) (C ) (D )

2.若随机事件和都不发生的概率为,则以下结论中正确的是（ C ）

(A)和都发生的概率等于 (B)和只有一个发生的概率等于

(C)和至少有一个发生的概率等于(D)发生不发生或发生不发生的概率等于

二、填空

1.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

2.老师提出一个问题，甲先回答，答对的概率是0.4;如果甲答错了，就由乙答，乙答

对的概率是0.5;如果甲答对了，就不必乙回答，则这个问题由乙答对的概率为 0.3

3.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85

三、简答题

1.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。

解:设“每箱有只次品” （, “买下该箱” .

2.一工厂有两个车间，某天一车间生产产品100件，其中15件次品；二车间生产产品50件，其中有10件次品，把产品堆放一起（两车间产品没有区分标志），求：（1）从该天生产的产品中随机取一件检查，它是次品的概率；（2）若已查出该产品是次品，则它是二车间生产的概率。

解：（1）设事件“取的产品来自1车间”为,事件“取的产品来自2车间”为，

“从中任取一个是次品”为，

（2）

3．发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“”及“-”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“”。

求：（1）当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号“”的概率；

（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。

解：设事件表示发报台发出信号“”，则事件表示发报台发出信号“-”；

设事件表示收报台收到信号“”，则事件表示收报台收到信号“-”；

根据题设条件可知：；

；；

应用贝叶斯公式得所求概率为：

（1）

=0.923

（2）

=0.75

第八节 随机事件的独立性

一、选择

1.设=0.8， =0.7， =0.8，则下列结论正确的是（ C ）

(A) 事件与互不相容 (B)

(C) 事件与互相独立 (D)

2.设是两个相互独立的随机事件,，则（ B ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空

1.设与为两相互独立的事件， =0.6， =0.4，则=

2.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的，则加工出来的零件的次品率是 0.09693

三、简答题

1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。

解：设事件表示第台车床不需要照管，事件表示第台车床需要照管，（ =1，2，3），

根据题设条件可知：

设所求事件为，则

根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到：

=0.902

2.如下图所示，设构成系统的每个电子元件的可靠性都是p（0<p<1），并且各个元件能否正常工作是相互独立的，求系统（1）和（2）的可靠性。

（1） （2）

解：（1）；（2）

第九节 独立试验序列

一、选择

1.每次试验成功率为，进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B )

(A) (B) (C) (D)

二、填空

1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5

2.设在三次独立试验中,事件出现的概率相等.若已知事件至少出现一次的概率等于,则事件在一次试验中出现的概率为

三、简答题

1.射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立的射击中得到不少于48环的概率。

解：设事件表示5次射击不少于48环，事件表示5次射击每次均中10环，事件表示5次射击一次中9环，4次中10环，事件表示5次射击2次中9环，3次中10环，事件表示5次射击一次中8环，4次中10环，并且两两互不相容，由于每次射击是相互独立的，

则所求概率

第二章 随机变量及其分布

第二节 离散随机变量

一、 选择

1 设离散随机变量的分布律为: word/media/image146_1.png

二、填空

1 如果随机变量word/media/image150_1.png的分布律如下所示,则 .

X 0 1 2 3

2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为, 失败的概率为, 将试验进行到出现一次成功为止, 以表示所需试验次数, 则的分布律是__ ___ ____.(此时称服从参数为的几何分布).

解:的可能取值为1，2，3 ，

所以的分布律为

三、简答

1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以表示取出的3个球中的最大号码, 试求的概率分布.

X 3 4 5

P

2 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求的概率分布.

X 0 1 2 3

P

第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布

一、 选择

1 甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936, 则甲在一次射击中命中的概率=______.

(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6

解: D

设”三次射击中命中目标的次数”,则,

已知，

解之得

2 设随机变量, ______.

解: D

设”三次射击中命中目标的次数”,则,

已知，

解之得

二、填空

1设离散随机变量服从泊松分布,并且已知.

解: D

设”三次射击中命中目标的次数”,则,

已知，

解之得

三、简答

1.某地区的月降水量X（单位：mm）服从正态分布N(40,),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率.

2 某地区一个月内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布,即,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍.

(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率；

（2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率；

（3）求1个月内至少发生2次交通事故的概率；

第五节 随机变量的分布函数

一、 填空题

1设离散随机变量则的分布函数为 .

二、选择

1 设与分别为随机变量与的分布函数,为使是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取

2. 设函数.则______.

(A) 是随机变量的分布函数. (B) 不是随机变量的分布函数.

(C) 是离散型随机变量的分布函数. (D) 是连续型随机变量的分布函数.

解: A

显然满足随机变量分布函数的三个条件:

(1)是不减函数 ， (2)， (3)

3. 设 当(*)取下列何值时,是随机变量的分布函数.

(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5

解: A只有A使满足作为随机变量分布函数的三个条件.

三．简答

1 设随机变量的分布函数为,求的值.

解:由随机变量分布函数的性质

知

解 得

第六节 连续随机变量的概率密度

二、选择

1.设、分别表示随机变量的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）

（A） （B）

（C） （D）

2.下列函数中，可为随机变量的密度函数的是( B )

（A） （B）

（C） （D）

二、填空

1.设连续随机变量的分布函数为

(1) 0.5 ， (2)概率密度

三、简答题

1. 设随机变量的概率密度

求：（1）常数；（2）概率。

答案 （1） （2）

2. 设随机变量的概率密度

求：（1）常数；（2）概率；（3）分布函数。

答案 （1）；（2）；（3）

3.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离的概率密度

如果弹着点距离目标不超过时，即可摧毁目标。求：

求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于？

答案 （1） （2）。

4.已知随机变量的概率密度

，

求：分布函数。

答案

5.已知随机变量的概率密度

若使得，则的取值范围是

答案

第七节 均匀分布、指数分布

三、选择

1.在区间上服从均匀分布的随机变量的密度函数是( B )

（A） （B）

（C） （D）

2.服从参数为的指数分布的随机变量的密度函数是( C )

（A） （B）

（C） （D）

二、填空

1.设随机变量在在区间上服从均匀分布，则

(1) 0 , (2) ,

⑶ 1 , (4) ,

三、简答题

1. 长度为的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段之比小于的概率。

答案

2. 已知修理某种机器所需的时间服从指数分布，求：

（1）在小时之内修好的概率；

（2）如果已修理了小时，在以后的小时之内修好的概率。

答案 （1） （2）

3.设随机变量在区间上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于的概率。

答案 。

4.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：）都服从同一指数分布，概率密度为

试求：在仪器使用的最初的内至少有一只电子元件损害的概率。

答案

第八节 随机变量函数的分布

四、选择

1.设随机变量的概率密度为

则随机变量的概率密度为（ D ）

（A） （B）

（C） （D）

2. 设随机变量的概率密度为

则随机变量的概率密度为（ C ）

（A） （B）

（C） （D）

二、简答题

1.设随机变量服从二项分布，求下列随机变量函数的概率分布：

（1） （2） (3)

答案

(1)

(2)

(3)

2.设随机变量的概率密度

求下列随机变量的概率密度

（1） （2） (3)

答案

（1） （2）

（3）

3.设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量函数的概率密度。

答案

4. 设随机变量在服从指数分布，其中，求随机变量函数的概率密度。

答案

5. 设随机变量的概率密度为

，

求：随机变量的概率密度。

答案

6.设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量函数的概率密度。

答案

第九节 二维随机变量的联合分布

五、选择题

设二维随机变量的联合概率密度为

则 ( A )

（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6

二维随机变量的联合分布函数以下哪个随机事件的的概率？( B )

（A） （B）

（C） （D）

二、填空

1. 下表列出了二维随机变量联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部

分数值，试将其余值填入表中的空白处

2.设二维随机变量的联合分布函数为

则系数=， =， =，的联合概率密度为。

已知二维随机变量的联合概率密度为，为一平面区域，则的联合分布函数= ， ，曲面叫做 分布曲面 ， 1 ， 0 ，

0 ， 0 。

三、计算题。

1. 已知随机变量和的概率分布

而且求和的联合分布。

解：

设二维随机变量的联合概率密度为

（1）求；（2）求联合分布函数。

解（1）

（2）

设二维随机变量的联合概率密度为

试求（1）常数； (2) 概率.

解：（1）由于，

故，所以

（2）

第十节 二维随机变量的边缘分布

六、选择题

设二维离散随机变量的联合概率函数为，则的边缘概率函数为 （ A ）

（A） （B） （C） （D）以上都不对

为二维连续随机变量，对任意的实数，函数为 （ B ）

（A）随机变量的边缘分布函数 （B）随机变量的边缘分布函数

（C）的联合分布函数 （D）以上都不对

二、填空

设二维随机变量的联合分布函数为

则的边缘分布函数为，的边缘概率密度为。

设二维随机变量的联合分布函数为，则随机变量的边缘分布函数为，随机变量的边缘分布函数为。

设二维随机变量的联合概率密度为，则随机变量的边缘概率密度为，随机变量的边缘概率密度为。

三、计算题

设二维随机变量的联合概率密度为，求的边缘概率密度。

解故

2. 已知二维随机变量的联合概率密度为

求随机变量和的边缘概率密度。

解 ，。

第十一节 随机变量的独立性

七、选择题

设相互独立的随机变量和的概率密度分别为

，则的二次方程具有实根的概率是（ A ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空

1. 设二维随机变量的联合分布函数为

则随机变量与独立 （填独立或不独立）。

2. 独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的 边缘分布 函数的乘积，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的 边缘概率密度 的乘积，独立离散随机变量的联合概率函数等于它们的 边缘概率函数 的乘积。

三、计算题

1. 已知随机变量和的概率分布

而且问和是否独立？为什么？

解：因为所以和不独立。

2. 已知二维随机变量的联合概率密度为

随机变量和是否独立？

解 由于，。

故

所以随机变量和独立。

第三章 随机变量的数字特征

第一节 数学期望

八、选择

1. 掷6颗骰子，令为6颗骰子的点数之和，则（ D ）

（A） （B） （C） （D）

2. 对离散型随机变量，若有，则当（ B ）时，

称为的数学期望。

（A）收敛 （B）收敛 （C）为有界函数 （D）

二、填空

1. 设随机变量的概率密度为则 0 。

2. 设连续型随机变量的概率密度为其中，又已知，则 3 ， 2 。

三、简答题

1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求。

解：，

，

所以

2.设的联合概率密度为，求。

解：，同理。

第二节 随机变量函数的数学期望

一、填空

1. 设随机变量服从参数为1的指数分布，则数学期望 。

2. 设随机变量服从二项分布，则 2.16 。

二、简答题

1.设随机变量和相互独立，概率密度分别为

求随机变量函数的数学期望。

解：因为和相互独立，所以

。

2.按季节出售某种应时商品，每售出1获利润6元,如到季末尚有剩余商品，则每净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量（以计）是一随机变量，在区间内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？

解： 设表示进货量，易知应取，进货所得利润记为，且有

利润是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润”的最大值，即求使得最大。的概率密度为

令 得 。

而

故知当时，取得极大值，且可知这也是最大值。

所以，进货14时平均利润最大。

第三节 关于数学期望的定理

一、填空

1. 已知离散型随机变量服从参数为2的泊松分布

则随机变量的数学期望 4 。

2. 设服从泊松分布，已知，则 1 。

3.设表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为，则的数学期望 18.4 。

二、简答题

1. 设在上服从均匀分布，其中为轴，轴及直线所围成的区域，求。

解：因为的面积为，所以的概率密度为

2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立）

解： 引入随机变量

，

易知，现在来求。

按照题意，

所以

进而

第四节 方差与标准差

九、选择

1. 对于任意两个随机变量和，若，则（ B ）

（A） （B）

（C）和独立 （D）和不独立

2. 设两个相互独立的随机变量和的方差分别是和，则随机变量的方差是（ D ） 。

（A） （B） （C） （D）

3. 设随机变量和相互独立,又，，则下列结论不正确的是（ B ）

（A） （B）

（C） （D）

二、填空

1. 设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量则方差 。

2. 设是一随机变量,，， 则 4 。

三、简答题

1. 设的联合概率密度为，求。

解：，

，

。

第五节 某些常用分布的数学期望与方差

一十、选择

1. 设服从 （ C ）分布，则。

（A） 正态 （B） 指数 （C）泊松 （D）二项

2. 已知服从二项分布，且，，则二项分布的参数为（ B ）

（A） （B）

（C） （D）

二、填空

1. 已知随机变量在上服从均匀分布，则 .

2. 设，且服从参数为的泊松分布，则 2 2 。

三、简答题

1. 设二维随机变量在区域内服从均匀分布，试求

（1）的边缘概率密度；

（2）随机变量函数的方差。

解：因为区域的面积为1，所以的联合概率密度为

（1）当或时，，当时，，

所以的边缘概率密度为

（2），

第四章 正态分布

第一节 正态分布的概率密度与分布函数

一十一、选择

1. 设,那么当增大时，则（ C）

(A) 增大 (B) 减少 (C) 不变 (D) 增减不定

2. 随机变量且则（ B ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空

1. 设随机变量,且,

则 0.383

2.设随机变量,且,

则 0.1587

三、计算题

1. 某地区的月降水量（单位：mm）服从正态分布,试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率.

第二节 正态分布的数字特征

二、选择

1. 设随机变量与独立，，则（ D ）

(A) 6 (B) 4 (C) 10 (D) 8

二、填空

三、计算题

第三节 二维正态分布

一、计算题

1.已知矢径的终点的坐标为服从二维正态分布

求矢径的长度的概率密度

解

当时，显然有；当时

所以，的分布函数为

对求导数，即得的概率密度

第四节 正态随机变量的线性函数的分布

一、选择

1.设，是相互独立的随机变量，且，则下列结论正确的是（B）

(A (B) (C) (D)

二、填空

1.设随机变量与独立，且，则的概率密度为

2.设随机变量与独立，且，则= 0.5

第五节 中心极限定理

一、填空

二、计算题

1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布.各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.()

解：设表示第页上的错误个数，

则，因此

设表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知

因此

2.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值.

( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算. )

解:， 因为 较大,

所以近似服从正态分布.

, . ()

3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：

（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率；

（2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率

( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算.)

解:设表示发生故障的家电数,则

(1)

=+

=+

(2)， 因为 较大,

所以近似服从正态分布.

, . ()

第五章 数理统计的基本知识

二、选择

1. 设独立且服从同一分布，是样本均值，记，，，，则下列服从的是 ( A ).

（A） （B） （C） （D）

2. 设总体, 则统计量（B）

(A) (B) (C) (D)

3.设总体,为取自总体的一个样本,则下面结果正确的是（ D ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空

1. 已知某总体的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，则样本均值= 99.93 ，样本方差= 1.43 .

2. 设总体,为取自总体的一个容量为20的样本,则概率= 0.895 .

3.从总体中抽取容量为16的样本,则= 0.0436 .

三、计算

1. 设总体,为取自总体的一个样本,要使样本均值满足不等式，则样本均值最少应取多少？

解 由题意知 ～

故 =

=

即 ， ，

因此样本容量最少应取为16.

2. 设总体,为取自总体的一个容量为16的样本,样本均方差=2.309,求概率.

解 由题意知 ～

～

= =

= 1-2= 1-20.25 =0.5

第六章 参数估计

第一节 参数的点估计

三、选择

1. 以样本的矩作为相应（同类、同阶）总体矩的估计方法称为（A）.

　(A) 矩估计法 　(B) 一阶原点矩法

　(C) 贝叶斯法 (D) 最大似然法

2. 总体均值的矩估计值是（A）.

（A） （B） （C） （D）

二、填空

1.设总体服从泊松分布，其中为未知参数.如果取得样本观测值为，则参数的最大似然估计值为.

2.设总体在区间上服从均匀分布，其中为未知参数.如果取得样本观测值为，则参数的矩估计值为.

三、简答题

1. 设设总体的概率密度为

，求参数的矩估计值.

解 ：设

则=

故，所以

2. 设总体服从几何分布

如果取得样本观测值为，求参数的矩估计值与最大似然估计值.

解：由已知可得

，所以

由此可得参数的矩估计值为.

似然函数为

取对数，得于是，得

.由此可得参数的最大似然估计值为.

3. 设总体服从“0-1”分布：

如果取得样本观测值为，求参数的矩估计值与最大似然估计值.

解：由已知可得

，所以

由此可得参数的矩估计值为.

似然函数为

取对数，得于是，得

.由此可得参数的最大似然估计值为.

第二节 衡量点估计好坏的标准

四、选择

1. 估计量的无偏性是指 （ B ）.

（A）统计量的值恰好等于待估总体参数

(B) 所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数

(C) 样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小

(D) 样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致

2. 估计量的有效性是指 （ C ）.

（A）估计量的数学期望等于被估计的总体参数

(B) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数

(C) 估计量的方差比其它估计量的方差小

(D) 估计量的方差比其它估计量的方差大

3. 估计量的一致性是指 （ D ）.

(A) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数

(B) 估计量的方差比其它估计量的方差小

(C) 估计量的方差比其它估计量的方差大

(D) 随样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数

二、填空

1.设与都是参数的无偏估计量，如果 ，则称比有效.

2. 设总体的均值，方差，则是总体均值的无偏的、有效的、一致的估计量，是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量.

三、简答题

1.从总体中抽取样本，证明下列三个统计量都是总体均值的

无偏估计量；并确定哪个估计更有效.

证：设总体的均值与方差分别为，.则因为样本与总体服从相同的分布，所以有，所以有

所以，，都是总体均值的无偏估计量.

因为所以认为估计量更有效.

2.设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小.

解： 由于,且知，故得c+d=1。

又由于

并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值。

令d=1-c，代入得，

解得。

第三节 正态总体参数的区间估计

五、选择

1. 若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度变小，则的置信区间（ B ）.

(A)长度变大 (B) 长度变小 （C）长度不变 (D)长度不一定不变

2.设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足.若，则等于（ C ）.

（A） (B) (C) (D)

3. 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为的置信区间是（ C ）.

(A) (B)

(C) (D)

二、填空

1. 设总体，为未知参数，则的置信度为的置信区间为　

2. 由来自正态总体，容量为的简单随机样本，若得到样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间为

3. 已知一批零件的长度服从正态分布，从中随机地抽取个零件，得平均长度为，则的置信度为的置信区间为

三、简答题

1. 对方差为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于L？

解: 由于的置信区间为，故的置信区间长度为.所以，有，即.

2. 为了解灯泡使用时数均值及标准差，测量了10个灯泡，得小时，小时.如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求和的的置信区间.

解: 由，根据求置信区间的公式得

查表知，根据求置信区间的公式得的置信区间为

而的置信区间为

.

3. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得，求的置信区间(.

解: 查表得，根据求置信区间的公式得的置信区间为

=.

第七章 假设检验

第一节 假设检验的基本概念

六、选择

1. 在假设检验中,作出拒绝假设的决策时,则可能（ A ）错误.

（A） 犯第一类 （B） 犯第二类 （C）犯第一类,也可能犯第二类 （D） 不犯

2. 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平下接受，那么在显著性水平下，下列结论中正确的是（ A ）.

（A）必接受 （B）可能接受，也可能拒绝

（C）必拒绝 （D）不接受，也不拒绝

3. 在假设检验中，表示原假设，表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（ B ） .

（A）真，接受 （B）不真，接受

（C）真，拒绝 （D）不真，拒绝

二、填空

1. 假设检验的原理是 小概率事件的实际不可能行原理 .

2. 设总体，是来自总体的样本，则检验假设，当为已知时的统计量是；当未知时的统计量是.

三、简答题

化肥厂用自动打包机包装化肥．某日测得9包化肥的质量（kg）如下：

49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4.已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg?（）

解：设：；：.由于未知，选统计量

对显著性水平，查表得。由样本值计算得，，

接受，认为每包化肥的平均质量为50 kg .

第二节 正态总体参数的假设检验

七、选择

1.设总体，为未知参数，样本的方差为，对假设检验，水平为的拒绝域是（ B ）.

（A） （B）

（C） （D）

2. 设总体，未知，为来自总体的样本.记为样本均值，为样本方差，对假设检验，应取检验统计量为 （ C ） .

（A） （B） （C） （D）

3. 在假设检验中，原假设和备选假设（ C ）.

（A）都有可能成立

(B) 都有可能不成立

(C) 只有一个成立而且必有一个成立

(D) 原假设一定成立，备选假设不一定成立

二、填空

1. 设总体，其中参数未知，是取自总体word/media/image814_1.png的简单随机样本，对于给定的显著性水平，检验假设，时，选取的检验统计量服从.

2. 设总体,未知，为来自总体样本，记为样本均值，为样本方差，对假设检验，取检验统计量，则在显著性水平下拒绝域为.

三、简答题

1. 机器包装食盐，每袋净重量（单位：）服从正态分布，规定每袋净重量为500（）.某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：

497 507 510 475 484 488 524 491 515

以显著性水平检验这天包装机工作是否正常？

解：设：；：

由于未知，选统计量

对显著性水平，查表得。由样本值计算得，，

接受，认为每袋平均重量为500.

2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取位考生的成绩，算得平均成绩为分，标准差为分.问在显著性水平下，

（1）是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为分？

(2) 是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为？

解：（1）设：；：

由于未知，选统计量

对显著性水平，查表得。由样本值计算得，

接受，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.

（2）设：；：

由于未知，选统计量

计算统计量的观测值

对显著性水平，查表得

所以

接受，即可以认为这次考试考生的成绩的方差为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7e70d925bcd126fff6050b03.html