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考点21 直线与圆
1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
【命题立意】本题主要考查直线平行问题.
【思路点拨】可设所求直线方程为，代入点（1，0）得
值，进而得直线方程.
【规范解答】选A，设直线方程为，又经过
，故
，所求方程为
.
2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】选.设圆心为
，则
，解得
，
所以所求圆的方程为：，故选
.
3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．
则圆C的方程为 .
【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.
【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.
【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在线段AB的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线
垂直的直线为
，AB的中垂线为
，联立
半径，所以，圆的方程为
.
【答案】
4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】设圆心坐标为，则
，解得
，又圆心位于
轴左侧，所以
.故圆O的方程为
.
【答案】
5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为
【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系.
【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.
【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故
，所以圆的方程为
.
【答案】
6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________
【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c的取值范围.
【规范解答】如图，圆
的半径为2，
圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,
问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的
距离小于1.
【答案】
7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：
被圆C所截得的弦长为
，则过圆心且与直线
垂直的直线的方程为 ．
【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
【规范解答】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为
，则由题意知：
，解得
或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以
，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有
，即
，故所求的直线方程为
.
【答案】
【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为
，则圆C的标准方程为 .
【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解.
【规范解答】设圆心坐标为，圆的半径为
，则由题意知：
，解得
或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以
，故圆心坐标为（3，0），
故所求圆的方程为
.
【答案】
【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 .
【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1”；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.
【规范解答】设PQ的垂直平分线的斜率为k，则k·=-1，∴k=-1，而且PQ的中点坐标是(
,
)，∴l的方程为：y-
=-1·(x-
)，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x2+(y-1)2=1.
【答案】-1 x2+(y-1)2=1
【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c的对称点是(b-c,a+c).
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.
【思路点拨】（1）设出点P的坐标，利用AP与BP的斜率之积为，可得到点P的轨迹方程.（2）方法一：设出
，把
和
的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB与△PMN的面积相等转化为
，进而转化为
.
【规范解答】（1）因为点B与点A关于原点
对称，所以点
的坐标为
.
设点的坐标为
，
由题意得，
化简得 .
故动点的轨迹方程为
.
（2）方法一：设点的坐标为
，点
，
得坐标分别为
,
.
则直线的方程为
，直线
的方程为
，
令得
，
，
于是的面积为
，
又直线的方程为
，
，
点到直线
的距离
，
于是的面积为
，
当时，有
，
又，
所以=
，解得
.
因为，所以
，
故存在点使得
与
的面积相等，此时点
的坐标为
方法二：若存在点使得
与
的面积相等，设点
的坐标为
则，
因为,
所以，
所以，
即 ，解得
，
因为，所以
，
故存在点使得△
与△
的面积相等，此时点
的坐标为
.
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7cf537e8178884868762caaedd3383c4ba4cb42c.html
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