[优质试卷]2019-2020高中数学 第三章 变化率与导数单元测试2 北师大版选修1-1

第三章 变化率与导数

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于(　　)

A．－ B．0

C. D.

解析：选B.∵f(x)＝，∴f′(x)＝()′＝0.

2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3 s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为(　　)

A．(6＋Δt)m/s B．(6＋Δt＋)m/s

C．(3＋Δt)m/s D．(＋Δt)m/s

解析：选A.平均速度为＝＝(6＋Δt)m/s.

3．函数f(x)＝x3＋x＋1，则 ＝(　　)

A．1 B．4

C．5 D．0

解析：选B.由已知得f(1)＝3，故

＝ ＝f′(1)＝3x2＋1|x＝1＝4，故选B.

4．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)＞f′(xB)

B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

解析：选B.由图像可知，f′(xA)＜f′(xB)．

5．下列求导运算中正确的是(　　)

A．(x＋)′＝1＋ B．(lg x)′＝

C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x

解析：选B.(x＋)′＝1－，故A错；(ln x)′＝，故C错；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错，故选B.

6．已知y＝2x3＋＋cos x，则y′等于(　　)

A．6x2＋x－－sin x B．6x2＋x－＋sin x

C．6x2＋x－＋sin x D．6x2＋x－－sin x

解析：选D.y′＝(2x3)′＋(x)′＋(cos x)′

＝6x2＋x－－sin x.

7．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D.因为y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－x2⇒y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.

8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是(　　)

解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．

9．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选D.由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由题意，得0＜3x2－8＜1，＜x2＜3，解得－＜x＜－，＜x＜，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个．

10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝ln x，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c B．c＞b＞a

C．a＞c＞b D．b＞a＞c

解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即ln x＝，在同一坐标系中画出函数y＝ln x，y＝的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

11．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)等于________．

解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0得

f′(0)＝3f′(0)，∴f′(0)＝0，

f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1.

答案：1

12．正弦曲线y＝sin x上切线斜率等于的点的横坐标为________．

解析：y′＝cos x，令cos x＝，x＝2kπ±，k∈Z.

答案：2kπ±，k∈Z

13．f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．

解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.

答案：(－∞，]

14．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．

解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，

f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.

答案：

15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式为________．

解析：由y＝xn(1－x)得y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)，

∴f′(2)＝－n·2n－1－2n.

又∵切点为(2，－2n)．

∴切线方程为：

y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)．

令x＝0，得an＝(n＋1)·2n.

则数列的通项公式为2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.

答案：2n＋1－2

三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分10分)求下列函数的导数：

(1)f(x)＝ln(8x)；

(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)；

(3)f(x)＝.

解：(1)f(x)＝2ln 2＋ln x，

f′(x)＝(2ln 2)′＋(ln x)′＝.

(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)＝x(x3＋1)＝x4＋x，

∴f′(x)＝4x3＋1.

(3)法一：f′(x)＝＝.

法二：因为f(x)＝＝1＋，

所以f′(x)＝＝.

17．(本小题满分10分)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求物体运动4 s时的瞬时速度．

解：由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.

＝2＋6t＋3Δt，

所以当t趋于4s时，即Δt趋于0时，平均变化率趋于26，s′(4)＝26 m/s.

导数s′(4)表示当t＝4 s时物体运动的瞬时变化率，即运动的瞬时速度．

18．(本小题满分10分)求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

解：由得x＝1，y＝1.即交点为(1，1)，y′＝()′＝－，y′＝(x2)′＝2x，

y′|x＝1＝－1，y′|x＝1＝2，过交点的切线为y－1＝－(x－1)和y－1＝2(x－1)．

令y＝0分别得x＝2和x＝，即它们与x轴的交点分别为(2，0)和(，0)，三角形面积S＝×1×|2－|＝.

19．(本小题满分12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．

解：∵f′(x)＝2x＋1，

∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，

又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，

∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.

20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.

所以切线方程是y＝－2.

(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，

即f′(x)＝＝，

当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，

可得f′(x)≥0.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7c4266f7a9114431b90d6c85ec3a87c241288a6d.html