激光原理周炳坤-第2章习题答案

第二章 开放式光腔与高斯光束

习题（缺2.18 2.19 2.20）

1． 题略

证明：设入射光word/media/image1_1.png，出射光word/media/image2_1.png，

由折射定理word/media/image4_1.png,根据近轴传输条件，则word/media/image5_1.png

word/media/image6_1.png，联立word/media/image7_1.png，则

所以变换矩阵为

2． 题略

证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:

经过距离ｄ的传播矩阵为：

光线出射平面介质时：

故

3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，有

往返矩阵变为

若光线在腔内往返两次，有

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔的稳定性条件为0g<1,其中g=1- ,g=1-

（a）对平凹腔：R=,则g=1, 0<1-<1，即0

(b) 对双凹腔：0g<1, 0<<1

，或且

(c)对凹凸腔：R=,R=-,

0<<1，且

5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，

工作物质长，折射率

根据稳定条件判据：

其中

由(1)解出

由(2)得

所以得到：

解法二：

由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的

由0<<1，得

则

6. 图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。

解：

图2.3

稳定条件

左边有

所以有

对子午线：

对弧矢线：

有：

所以

同时还要满足子午线与弧失线

解法二：

透镜序列图为： word/media/image69_1.png

该三镜环形腔的往返矩阵为：

由稳定腔的条件：，得： 。

若为子午光线，由则或

若为弧矢光线，由，则或

7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。

解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式:

根据已知条件求出腔的菲涅耳数

由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式 计算

代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求

根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数

由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长(孔径直径):

因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。

解二： 菲涅耳数

增益为

模衍射损耗为

模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;

模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;

衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为

因此不能作单模运转

为实现单横模运转所加小孔光阑边长为：

8. 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？

解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成

令，则I式可以写成

式中为厄米多项式，其值为

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得

考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置

所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。

9．求圆形镜共焦腔word/media/image125_1.png和模在镜面上光斑的节线位置。

解：word/media/image127_1.png模的节线位置由缔合拉盖尔多项式：

由word/media/image128_1.png得 word/media/image129_1.png，

又word/media/image130_1.png 则word/media/image131_1.png

word/media/image132_1.png模的节线位置为word/media/image133_1.png或sin2word/media/image134_1.png＝0，即：word/media/image135_1.png

10 今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g参数为,，

因此，该腔为稳定腔。

两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为:

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

11.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L＝50cm，R＝2m，2a＝1cm，。试计算word/media/image145_1.png、word/media/image146_1.png、word/media/image147_1.png、word/media/image148_1.png、word/media/image149_1.png、word/media/image150_1.png各为多少。

解：，，

，

,

,

12．试证明，在所有相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度。

证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。

13．今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。

解：，word/media/image171_1.png

14．推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R＝100cm时，word/media/image174_1.png，word/media/image175_1.png随L而变化的曲线；（2）当L＝100cm时，word/media/image174_1.png，word/media/image175_1.png随R而变化的曲线。

解：，

word/media/image178_1.png

（1）

(2)word/media/image183_1.png

15.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R＝2m，腔长L＝1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径word/media/image185_1.png的大小和位置、该高斯光束的f及的大小。

解：

word/media/image188_1.png word/media/image189_1.png

16 某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。

解：入射高斯光束的共焦参数

根据

求得：

：，

： ，

：，

17 若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的参数值，与束腰相距30cm处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。

解：入射高斯光束的共焦参数

根据，可得束腰处的q参数为：

与束腰相距30cm处的q参数为：

与束腰相距无穷远处的q参数为：

21 某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：入射高斯光束的共焦参数值 ,

又已知，

根据 （2.10.17）； (2.10.18)

: ,

: ,

:,

: ,

从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。

22 激光器输出光， =3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到及时透镜应放在什么位置。

解：入射高斯光束的共焦参数

已知，根据

时，，即将透镜放在距束腰1.39m处；

时，，即将透镜放在距束腰23.87m处。

23 如图2.6光学系统，入射光，求及。

图2.6

解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置

由于，所以

所以对第二个透镜，有

已知，根据

24 某高斯光束，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距，如图2.7所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

图2.7

解：入射高斯光束的共焦参数为

由于远远的小于，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为

这样可以得到在主镜上面的光斑半径为

即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。

这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为

25 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。

解：一、实验原理

通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为

(I)

式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率。记，则有

(II)

注意到对基模高斯光束有

在(II)式的两端同时乘以，则有

令

(III)

则

解此关于f的二次方程，得

因为、、、都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。

二、实验步骤

1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；

2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率；

3．移走光阑，量出高斯光束的总功率；

4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。

解法二：由两个相同的凹面镜组成的谐振腔所对应共焦腔的焦距为：，束腰半径：。当时，束腰半径最大。所以，对称共焦腔有最大的束腰半径。

实验步骤：1，对某一腔长，测得束腰光斑的位置，此位置单位面积内具有该腔内光束的最大光功率。

2，改变腔长，同1测量束腰光斑处小孔后的光功率。在束腰光斑光功率最小时，用卷尺测得两腔镜间距。

则有，。

26．已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，，，。如何选择高斯光束腰斑的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束？

解：由式(2.12.3)及球面反射镜等价焦距，有：

和

又，取。

得：，

27．（1）用焦距为的薄透镜对波长为、束腰半径为的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在和（）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不能改变，如何选择透镜的焦距？

解： ，

(1) 当时，须解得：或

当时，总满足，并在时，最小。

(2)不变：

28．试由自再现变换的定义式（2.12.2）用参数法来推导出自再现变换条件式（2.12.3）。

解： (2.12.2)

(2.10.18)

令即得：

故 (2.12.3)

29．试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径分别等于各该镜面的曲率半径。

解：

由(2.12.10),参考平面上的曲率半径为：

30．试从式（2.14.12）导出式（2.14.13）,并证明对双凸腔。

解： (2.14.12a)

(2.14.12b) (2)

将（1）代入(2)得：

(2.4.13)

，

对于双凸腔，

31．试计算，，，的虚共焦腔的和。若想保持不变并从凹面镜端单端输出，应如何选择？反之，若想保持不变并从凸面镜端单端输出，应如何选择？在这两种单端输出的条件下，和各为多大？题中为镜的横截面半径，为其曲率半径，、的意义类似。

解：对于虚共焦腔：，。由得，

。

，，；

。

则，

（a） 保持不变，从凹面镜端单端输出，要求能接收从传输的光线，则须：

，此时，

，

（b） 保持不变，从凸面镜单端输出须：

，

，

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7b033dabd4d8d15abe234e28.html