自动控制原理胡寿松第四版课后答案解析

1－3

解：系统的工作原理为：当流出增加时，液位降低，浮球降落，控制器通过移动气动阀门的 开度，流入量增加，液位开始上。当流入量和流出量相等时达到平衡。当流出量减小时，系 统的变化过程则相反。

希望液位

流出量

高度 液位高度

控制器 气动阀 水箱

＋ 流入量

－

浮球

图一

1－4

（1） 非线性系统

（2） 非线性时变系统

（3） 线性定常系统

（4） 线性定常系统

（5） 线性时变系统

（6） 线性定常系统

2-1 解：

显然，弹簧力为 kx(t ) ，根据牛顿第二运动定律有：

F (t ) − kx(t) = m

移项整理，得机械系统的微分方程为：

d 2 x(t )

dt 2

m d x(t ) + kx(t ) = F (t )

dt 2

对上述方程中各项求拉氏变换得：

ms 2 X (s) + kX (s) = F (s)

所以，机械系统的传递函数为：

G(s) =

X (s) =

F (s)

1

ms 2 + k

2-2 解一：

由图易得：

i1 (t )R1 = u1 (t ) − u2 (t )

uc (t ) + i1 (t )R2 = u2 (t )

duc (t )

i1 (t ) = C

dt

由上述方程组可得无源网络的运动方程为：

C ( R + R ) du2 (t )

u (t ) = CR

du1 (t )

u (t )

1 2 dt

+ 2 2 + 1

dt

对上述方程中各项求拉氏变换得：

C (R1 + R2 )sU 2 (s) + U 2 (s) = CR2 sU1 (s) + U1 (s)

所以，无源网络的传递函数为：

G(s) = U 2 (s) =

U1 (s)

1 + sCR2

1 + sC(R1 + R2 )

解二（运算阻抗法或复阻抗法）：

U (s)

1

+ R2

1 + R Cs

2 = Cs = 2

U (s)

R + 1 + R

1 + ( R + R )Cs

1 1 2

1 Cs 2

2-5 解：按照上述方程的顺序，从输出量开始绘制系统的结构图，其绘制结果如下图所示：

依次消掉上述方程中的中间变量 X 1 , X 2 , X 3 , 可得系统传递函数为：

C(s) =

R(s)

G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)

1 + G2 (s)G3 (s)G6 (s) + G3 (s)G4 (s)G5 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)[G7 (s) − G8 (s)]

2-6 解：

① 将 G1 (s) 与 G1 (s) 组成的并联环节和 G1 (s) 与 G1 (s) 组成的并联环节简化，它们的

等效传递函数和简化结构图为：

G12 (s) = G1 (s) + G2 (s)

G34 (s) = G3 (s) − G4 (s)

② 将 G12 (s), G34 (s) 组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：

2-7 解：

C(s) =

R(s)

G12 (s)

1 + G12 (s)G34 (s)

= G1 (s) + G2 (s)

1 + [G1 (s) + G2 (s)][G3 (s) − G4 (s)]

由上图可列方程组：

[E (s)G1 (s) − C (s)H 2 (s)]G2 (s) = C (s)

R(s) − H1

(s) C (s)

G2 (s)

= E (s)

联列上述两个方程，消掉 E (s) ，得传递函数为：

C(s) =

R(s)

G1 (s)G2 (s)

1 + H1 (s)G1 (s) + H 2 (s)G2 (s)

联列上述两个方程，消掉 C (s) ，得传递函数为：

E(s) =

R(s)

1 + H 2 (s)G2 (s)

1 + H1 (s)G1 (s) + H 2 (s)G2 (s)

2-8 解：

将①反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：

0.4

G (s) = 2s + 1 =

1 + 0.4 * 0.5

2s + 1

1

5s + 3

将②反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：

1

G (s) = s + 0.3s + 1 =

5s + 3

2

1 + 0.4

5s + 4.5s

+ 5.9s + 3.4

(s + 0.3s + 1)(5s + 3)

将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：

0.7 * (5s + 3)

Θ o (s) = 5s 3 + 4.5s 2 + 5.9s + 3.4 =

3.5s + 2.1

Θi (s)

1 + 0.7 * Ks(5s + 3)

5s 3

+ (4.5 + 3.5K )s 2

+ (5.9 + 2.1K )s + 3.4

5s

3-3 解：该二阶系统的最大超调量：

σ p = e

−ζπ /

1−ζ 2

*100%

当σ p

= 5% 时，可解上述方程得：

ζ = 0.69

当σ p

= 5% 时，该二阶系统的过渡时间为：

t s ≈

3

ζwn

所以，该二阶系统的无阻尼自振角频率 wn

3-4 解：

≈ 3

ζt s

= 3

0.69 * 2

= 2.17

由上图可得系统的传递函数：

10 * (1 + Ks)

C (s) =

R(s)

s(s + 2)

1 + 10 * (1 + Ks)

s(s + 2)

== 10 * (Ks + 1)

s + 2 * (1 + 5K )s + 10

所以 wn =

10 ，ζwn = 1 + 5K

⑴ 若ζ

= 0.5 时， K ≈ 0.116

所以 K ≈ 0.116 时，ζ

= 0.5

⑵ 系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为：

σ p = e

−ζπ /

1−ζ 2

*100% = e

−0.5*3.14 /

1−0.52

*100% ≈ 16.3%

ts =

3

ζwn

= 3

0.5 *

≈ 1.9

10

⑶ 加入 (1 + Ks ) 相当于加入了一个比例微分环节，将使系统的阻尼比增大，可以有效

地减小原系统的阶跃响应的超调量；同时由于微分的作用，使系统阶跃响应的速度（即变

化率）提高了，从而缩短了过渡时间：总之，加入 (1 + Ks ) 后，系统响应性能得到改善。

3-5 解：

由上图可得该控制系统的传递函数：

C(s) =

10K1

R(s)

二阶系统的标准形式为：

C (s)

R(s)

s 2 + (10τ + 1)s + 10K

w 2

= n

s 2 + 2ζw s + w2

n n

所以

n = 10K1

2ζwn = 10τ + 1

由

σ = e−ζπ /

π

1−ζ 2

*100%

t p =

wn

1 − ζ 2

σ p = 9.5%

t p = 0.5

可得

ζ = 0.6

wn = 10K1

ζ = 0.6

wn = 7.85

由 和

2ζwn = 10τ + 1

wn = 7.85

可得：

K1 = 6.16

τ = 0.84

t s ≈

3

ζwn

= 0.64

3-6 解：⑴ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。

⑵ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数全大于零，所以系统稳定。

⑶ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。

3-7 解：系统的闭环系统传递函数：

K (s +1)

C (s) =

R(s)

=

s(2s +1)(Ts +1) =

1 + K (s +1)

s(2s +1)(Ts +1)

K (s +1)

K (s +1)

s(2s +1)(Ts +1) + K (s +1)

2Ts3 + (T + 2)s 2 + (K +1)s + K

列出劳斯表为：

s3 2T K +1

s2 T + 2 K

s1 (K +1)(T + 2) − 2KT T + 2

s0 K

T > 0 ，T + 2 > 0 ， (K + 1)(T + 2) − 2KT T + 2

> 0 ， K > 0

T > 0

K > 0 ， (K + 1)(T + 2) − 2KT > 0

(K +1)(T + 2) − 2KT = (T + 2) + KT + 2K − 2KT

= (T + 2) − KT + 2K = (T + 2) − K (T − 2) > 0

K (T − 2) < (T + 2)

3-9 解：

由上图可得闭环系统传递函数：

C (s) =

KK2 K3

R(s) (1 + KK K a)s2 − KK K bs − KK K

代入已知数据，得二阶系统特征方程：

(1 + 0.1K )s2 − 0.1Ks − K = 0

列出劳斯表为：

s2 1 + 0.1K − K

s1 − 0.1K

s0 − K

可见，只要放大器

−10 < K < 0 ，系统就是稳定的。

3-12 解：系统的稳态误差为：

ess

= lim e(t ) = lim sE (s) = lim s

R(s)

t →∞

s→0

s →0 1 + G0 (s)

⑴ G0 (s) =

10

s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

系统的静态位置误差系数：

K = lim G

(s) = lim 10 = ∞

p s →0 0

s →0 s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

系统的静态速度误差系数：

K = lim sG

(s) = lim

10s

= 10

v s →0 0

s →0 s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

系统的静态加速度误差系数：

K = lim s 2 G

(s) = lim

10s 2

= 0

a s→0 0

s→0 s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

当 r (t ) = 1(t ) 时， R(s) = 1

s

ess

= lim s

* 1 = 0

当 r (t ) = 4t 时， R(s) =

s→0 10 s

1 +

s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

4

s 2

e = lim s

* 4 = 0.4

ss s →0 s 2

当 r (t ) = t 2 时， R(s) =

1 + 10

s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

2

s 3

ess

= lim

s →0

1 +

s * 2 = ∞

10 s 3

s(0.1s + 1)(0.5s + 1)

当 r(t) = 1(t) + 4t + t 2 时， R(s) = 1 + 4 + 2

s s 2 s 3

3-14 解：

ess = 0 + 0.4 + ∞ = ∞

由于单位斜坡输入下系统稳态误差为常值=2，所以系统为 I 型系统

设开环传递函数 G(s) =

K

s(s2 + as + b)

⇒ K = 0.5 b

闭环传递函数

φ(s) = G(s) = K

1 + G(s) s3 + as2 + bs + K

Q s = −1 ± j 是系统闭环极点，因此

s3 + as2 + bs + K = (s + c)(s2 + 2s + 2) = s3 + (2 + c)s2 + (2c + 2)s + 2c

⎧K = 0.5b

⎪K = 2c

⎨b = 2c + 2 ⇒

⎪⎩a = 2 + c

⎧K = 2

⎪a = 3

⎨b = 4

⎪⎩c = 1

所以 G(s) =

2 。

s(s2 + 3s + 4)

4-1

jω [s]

jω [s]

k →∞

k = 0

×

k →∞

k = 0

0×

σ k = 0

×

k →∞

k →∞

k = 0 σ

0×

(a) (b)

jω [ s ]

jω [s]

σ

× × 0 ×

σ

× 0×

(c) (d)

4-2

j ω [ s ]

×

p 3 = − 1

0 ××

p 1 = 0 σ

p 2 = 0

p1 = 0,

p2 = 0,

p3 = −1

1. 实轴上的根轨迹 (−∞, −1) (0, 0)

1

2. n − m = 3

3 条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为

ϕ 180°(2q + 1) = ±60°,180°

a 3

(q = 0,1)

渐近线与实轴的交点为

n m

∑ pi − ∑ zi

i =1

j =1 0 − 0 −1 1

σ a =

3. 系统的特征方程为

n − m

= = −

3 3

1+G(s) = 1 +

K = 0

s2 (s +1)

即 K = − s2 (s +1) = −s3 − s2

dK = − 3s2 − 2s = 0

ds

s(3s + 2) = 0

根 s1 = 0

（舍去）

s2 = −0.667

4. 令 s = jω

代入特征方程

1+G(s) = 1 +

K = 0

s2 (s +1)

s2 (s +1) + K =0

( jω )2 ( jω +1) + K =0

−ω 2 ( jω +1) + K =0

K − ω 2 − jω =0

⎧K − ω 2 =0

⎨

⎩ω = 0

ω=0

（舍去）

与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点

p1,2 = 0

在虚轴上。

2

5-1

G(s) =

5

0.25s +1

G( jω ) =

5

0.25 jω +1

A(ω ) =

5 (0.25ω )2 +1

ϕ(ω) = − arctan(0.25ω)

输入 r(t) = 5 cos(4t − 30°) = 5 sin(4t + 60°)

ω=4

A(4) =

5

(0.25 * 4)2 +1

= 2.5 2

ϕ(4) = − arctan(0.25 * 4) = −45°

系统的稳态输出为

c(t ) = A(4) * 5 cos[4t − 30° + ϕ(4)]

= 2.5 2 * 5 cos(4t − 30° − 45°)

= 17.68 cos(4t − 75°) = 17.68 sin(4t +15°)

sin α = cos(90° −α ) = cos(α − 90°) = cos(α + 270°)

5-3

或者，

c(t ) = A(4) * 5 sin[4t + 60° + ϕ(4)]

= 2.5 2 * 5 sin(4t + 60° − 45°)

= 17.68 sin(4t +15°)

1 1

（2）

G(s) =

(1 + s)(1 + 2s)

G( jω ) =

(1 + jω )(1 + j 2ω )

A(ω ) =

1

(1 + ω 2 )(1 + 4ω 2 )

ϕ(ω) = − arctan ω − arctan 2ω

ϕ(ω) = − arctan ω − arctan 2ω = −90° arctan ω + arctan 2ω = 90°

ω = 1/(2ω)

ω 2 = 1/ 2

A(ω ) =

1 =

(1 +1 / 2)(1 + 4 *1/ 2)

2 = 0.47

3

与虚轴的交点为（0，-j0.47）

jY(ω)

0 ω =∞

-j0.47

ω = 0

1

X (ω)

ω

1

（3） G(s) =

1

s(1 + s)(1 + 2s)

G( jω ) =

1

jω (1 + jω )(1 + j2ω )

A(ω ) =

ω

1

(1 + ω 2 )(1 + 4ω 2 )

ϕ(ω) = −90° − arctan ω − arctan 2ω

ϕ(ω) = −90° − arctan ω − arctan 2ω = −180° arctan ω + arctan 2ω = 90°

ω = 1/(2ω)

ω 2 = 1/ 2

A(ω ) =

1

1/2 (1 +1/ 2)(1 + 4 *1/ 2)

= 2 = 0.67

3

与实轴的交点为（-0.67，-j0）

-0.67

0

ω = 0.707

ω

ω = 0

jY (ω)

ω =∞

X (ω)

（4） G(s) =

1

s2 (1 + s)(1 + 2s)

G( jω ) =

1

( jω )2 (1 + jω )(1 + j 2ω )

A(ω ) =

ω 2

1

(1 + ω 2 )(1 + 4ω 2 )

ϕ(ω ) = −180° − arctan ω − arctan 2ω

ϕ(ω) = −180° − arctan ω − arctan 2ω = −270° arctan ω + arctan 2ω = 90°

ω = 1/(2ω)

ω 2 = 1/ 2

A(ω ) =

1 = 2 (1/ 2) (1 +1/ 2)(1 + 4 *1/ 2) 3

2 = 0.94

与虚轴的交点为（0，j0.94）

ω = 0.707

ω = 0 ω

0.94

0

jY(ω)

ω = ∞

X (ω)

2

5-4

（2）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 0

L (ω ) ( d B )

0

0.01

-20dB

0.1

0.5

-20dB /dec

ω

1 10

-40dB /dec

-40dB

（3）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 1

L (ω ) ( d B )

-20dB /dec

20dB -40dB /dec

ω

0

0.01

0.1

0.5

1 10

-20dB

-40dB

-60dB /dec

（4）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 2

L (ω )(d B )

60dB

-40dB /dec

40dB

20dB -60dB /dec

ω

0

0.01

0.1

0.5

1 10

-20dB

-40dB

-80dB /dec

5-6

G(s) =

1

s −1

是一个非最小相位系统

3

G( jω ) = 1 =

1 (−1 − jω ) =

1 e j ( −180o +arctgω )

jω −1 1 + ω 2

1 + ω 2

G(s) =

1

s +1

是一个最小相位系统

G( jω ) = 1 =

1 (1 − jω ) =

1 e− jarctgω

jω +1 1 + ω 2

1 + ω 2