第一章—导热理论基础

第一章 导热理论基础

本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导热问题的基本分析方法。

物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。

物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。

导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。

第一节 基本概念及傅里叶定律

1-1 导热基本概念

一、温度场(temperature field)

（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为：

（1-1）

（二）分类：

1．从时间坐标分：

稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，，此时，。（如设备正常运行工况）

稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。

非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布与时间有关，。（设备启动和停车过程）

非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。

2．从空间坐标分：

三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，

二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，

一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，

二、等温面与等温线

1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。

2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。

为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。

3．等温面（线）的特点：

不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。

在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止在物体的边界，不可能在物体中中断。。

等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间隔相等时，即相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。

沿等温面（等温线）无热量传递

三、温度梯度(temperature gradient)

从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。

梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量）

温度变化率是标量，温度梯度是矢量。

温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限）为温度梯度，以表示。

(1-2)

式中，——等温面法线方向的单位矢量；

——温度在等温面法线方向的导数。

温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。

温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。

在直角坐标系：

（1-3）

式中，，，分别表示x轴、y轴及z轴方向上的单位矢量。

温度降度：温度梯度的负值，，沿温度降低的方向。

四、热流密度矢量

热流密度：它指单位时间单位面积上所传递的热量。在不同方向上，热流密度的大小是不同的。

1．热流线(heat flux lines)：在温度场中，作与各等温线一一正交的一组曲线，这组曲线称为热流线。

热流线是表示热流方向的线。在热流线上各点做切线，则热流方向就在该切线上，而某点热流线的切线方向与该点等温线的法线方向是一致的。所以热流方向是在等温线的法线方向上。由于热流是从高温处流向低温处，所以热流方向与温度梯度的方向相反。可见，热流既有大小，也有方向。为此引入热流密度矢量来对热流进行描述。

2．热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上，等于沿该方向的热流密度的矢量，称为热流密度矢量，简称热流矢量。其他方向的热流密度都是热流矢量在该方向的分量。

在直角坐标系中，热流矢量可表示为：

（1-4）

式中为沿三个坐标轴方向的分热流。

1-2．傅立叶定律(Fourier’s law of heat conduction)

傅里叶于1822 年在对固体导热实验进行总结的基础上，提出了著名的傅里叶定律，它是导热的基本定律。

1．傅立叶定律的表达式

式中的比例系数即为材料的导热系数（或称热导率），单位。负号“-”表示热流密度矢量与温度梯度的方向刚好相反（是热力学第二定律的体现）。

在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为：

（1-7）

对应可写出各个方向上的分热流密度为：

，，

工程上，一般考虑简单几何形状物体的导热。这时，热流密度常垂直于物体表面，分析问题时，常将坐标轴垂直于表面，这样，热流密度的方向就与坐标轴重合，热流密度可以不写成矢量形式,而只按坐标轴方向考虑热流密度的正负。即热流密度与坐标轴同向时为正，反向时为负。

傅立叶定律指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。

2．傅里叶定律的适用范围：

适用于各向同性连续介质的稳态和非稳态导热过程。（适用 q 不很高，而作用时间长。不适用于时间极短，热流密度极大或者温度极低时的导热）

问：傅里叶定律并不显含时间，为什么能用于计算非稳态导热的热量？

答：q是瞬时热流密度，不同瞬时，q可能是不同的，q与时间有关。

由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道材料的导热系数, 还必须知道温度场。所以求解温度场是导热分析的主要任务。（温度场——温度梯度——热流矢量）

第二节 导热系数

一、导热系数的定义：

（1-8）

物理意义：单位温度梯度下物体内产生的热流密度。它表征物质导热能力的大小，导热能力是物质的固有的物理性质，所以导热系数是物性参数。

单位：W/（m·K）或W/（m·℃）

各种材料的导热系数一般是通过实验来测定的。

二、影响材料导热系数的因素

材料的导热系数与物质种类及物质的温度，密度、湿度、压力等有关。

不同物质导热系数的数值是不同的。一般情况是，纯金属的导热系数很高，气体的导热系数很小，液体的数值介于金属和气体之间。

1．气体

（1）导热机理：靠分子热运动时的相互碰撞。

（2）各种气体的导热系数的范围：0.006～0.6 W/（m·K），其中以氢的导热系数为最大，常温下，空气的导热系数约为：0.025 W/（m·K）。

（解释：双层玻璃窗为什么能起到保温作用？）

（3）所有气体的导热系数均随温度升高而增大。（）

（4）对于空气，其含湿量增加后，湿空气的导热系数将增大。

（5）对气体，除非压力很低（小于2.67×103Pa）或压力很高（大于2×109Pa），可以认为气体的导热系数随压力变化不大。

水蒸汽的导热系数随压力的升高而增大。（）

2．液体

（1）导热机理：靠不规则的弹性振动（弹性波）。

（2）各种液体的导热系数的范围：0.07～0.7 W/（m·K）。水的导热系数在所有各种液体（不包括金属液体和电解液）中最大，20℃时，油类的导热系数值较小，在0.01～0.15 W/（m·K）之间。

（3）大多数液体（水和甘油除外）的导热系数随温度的升高而减小。（）

（4）液体的导热系数受压力影响较大，随压力的升高导热系数增大。（）

3．固体

（1）金属

导热机理：依靠自由电子的迁移。金属导热与导电机理一致。良导电体为良导热体。

各种金属的导热系数的范围：在0℃时12～410 W/（m·K），其中以银的导热系数为最高，纯金属的导热系数为：银—410 W/（m·K），铜—387 W/（m·K），铝—203 W/（m·K），铁—73 W/（m·K）。纯金属的导热系数值大于合金（依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者），且合金中杂质含量越多，导热系数值越小。（原因：金属中的杂质干扰了自由电子的运动，影响了能量的传递。）（参见课本330页，附录7）

纯金属的导热系数随温度的升高而减小。（）（晶格运动的加强，干扰了自由电子的运动）

一般合金的导热系数随温度的升高而增大。（）

（2）非金属

导热机理：依靠晶格的振动。

大多数建筑材料及隔热保温材料都属于非金属材料，如砖、砂、砂浆、混凝土等。这类材料的导热系数范围为：0.025～3 W/（m·K）。

非金属材料的导热系数随温度升高而增大。（）

（3）保温材料（隔热、绝热材料）(insulating material)

定义：按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350，导热系数的数值不大于0.12的材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。

保温材料的特点：保温材料大多是多孔材料（蜂窝状结构），内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体，严格讲，这些材料已不应视为连续介质。通常所说的保温材料的导热系数是指表观导热系数，即把保温材料当作连续介质时折算出的值。

保温材料的热量传递机理 ：

a 蜂窝固体结构的导热

b 微小孔隙中气体的导热

c 微小孔隙壁间的辐射换热（高温时）

保温材料的导热系数随温度升高而增大。（）

密度和湿度对保温材料和建筑材料的导热系数影响较大。

保温材料和建筑材料大多是多孔材料。如果密度大，意味着材料比较密实，孔隙率低，导热系数就大，多孔材料的密度小，意味着材料的孔隙多，使材料的导热系数小。但如果密度太小，孔隙尺寸变大或孔隙连通起来，这时气体会在孔隙中发生对流，产生对流换热，反而使导热系数增大。所以这些材料都对应有最佳的密度，即此时使材料的导热系数最小。

多孔材料如果吸收水分后，导热系数较大的水就会取代孔隙中导热系数较小的空气，使材料的导热系数增大。例如，干砖的λ值为0.35 W/（m·K），而湿砖的λ可达1 W/（m·K），所以对建筑物的维护结构，露天热力管道和设备的保温层，应采取防水防潮措施。

问：（1）同样是-6℃的气温，为什么在南京比在北京感觉要冷一些？

（2）通常，新房子刚住进去时，都有一种冷的感觉，为什么？

(4) 一般情况下，工程材料的导热系数随温度变化并不是线形的，但在温度变化不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：

（1-9）

式中，t 为温度，为该直线与纵坐标的截距（注意：它并不是温度为0℃时材料的真实导热系数）， b 是由实验测定的常数。

注意：上式只是在一定范围内有效。

4．对于同一种物质来讲，一般情况是，λ固 >λ液 > λ气。

例如，大气压力下0℃时，，，

5．各向异性材料 （anisotropic material）

不同方向上的导热系数都相同的材料称为个各向同性材料，反之称为各向异性材料。例如木材，石墨等，由于他们各向结构不同，因此各方向上的导热系数差别较大，对此类材料给出导热系数，必须注明方向。

思考题：

1、傅立叶定律的应用条件

2、保温工程对保温材料及使用有何要求？

3、傅里叶定律是否可以用于非稳态导热？

4、材料导热系数的单位为，而在有些教材上则为，两者之间是否有差别？

5、为什么大部分隔热保温材料都采用多孔结构？

6、试分析北方寒冷地区的房屋采用双层玻璃窗起到了什么样的作用。

7、冬天的棉衣和被褥在太阳下晾晒后使用会感到很暖和，晾晒后再拍打拍打则效果更好。为什么？

8、冬天，房顶上结霜的房屋保暖性能好还是不结霜的好?

第三节 导热微分方程式

导热微分方程式是描述物体内温度分布的微分方程，是根据能量守恒定律（热力学第一定律）和傅立叶定律建立起来的。

一、导热微分方程的建立

在推导导热微分方程式时，假定：

（1）物体为各向同性的连续体；

（2）物体的物性参数（λ，ρ，c）已知；

（3）物体具有均匀内热源，其强度记为：单位体积单位时间内所发出的热量。物体内放出热量时，内热源为正，物体内吸收热量时，内热源为负。

分析对象：采用直角坐标系，从物体中分割出一个微元平行六面体，微元体的边长分别为：，，，其体积为。

取时间，对微元体进行热平衡分析，根据能量守恒定律，有：

（1-10）

下面对每一项分别进行讨论：

1 导入与导出微元体的净导热量

在坐标系三个方向上均有热量的导进与导出，首先来看x方向：

沿x表面导入的热量：

经x+dx表面导出的热量：

因此，由x方向导入的净导热量为：

同理，沿y 和z方向导入的净导热量分别为：

最后可得进入该微元体的净导热量：

根据傅里叶定律，将，，代入上式，得：

（a）

2 微元体内热源的发热量

时间内，微元体内热源的发热量为： （b）

3 微元体的内能增量

时间内，微元体的内能增量为：

（c）

将（a）、（b）、（c）代入（1-10），并经整理得：

（1-11）

该式即为通用的导热微分方程式，描述了物体的温度随时间和空间变化的关系，是描写导热过程共性的数学表达式，是求解导热问题的出发点。

说 明：

（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；

（2）等号左边是单位时间内微元体内能的增量（非稳态项）；

（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微元体在单位时间内增加的能量 ( 扩散项 ) ；

（4）等号右边最后项是源项；

（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。

适用条件：各向同性的连续介质的稳态与非稳态导热过程，且物性既可以是常物性，也可以是变物性，一维、二维、三维都适用。但不适用于深冷或超急速传热。

二、导热微分方程的简化

1．常物性：即ρ，c，λ均为常数

（1-12）

或写成：

式中，

——拉普拉斯运算符，

——热扩散率（或导温系数）（thermal diffusivity），，其单位为，是一个热物性参数。

热扩散率反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力之间的关系。

表征了材料在非稳态导热（物体被加热和冷却）时，物体内各部分的温度趋于均匀一致的能力，它是物体热惯性的度量。

在非稳态导热过程中，值大的材料温度变化快，或物体内部各处的温度差小，整块材料的温度比较均匀。所以，热扩散率又是材料传播温度变化能力大小的指标，也称为导温系数。

在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。

不同材料的热扩散率相差较大。例如：木材的热扩散率为1.5×10-7 m2/s，铝的热扩散率为9.45×10-5 m2/s，铝的热扩散率为木材的600多倍。所以，当尺寸相同的木棒和铝棒的一端同时放入火中加热时，很快铝棒的另一端已经烫手，而木棒在炉中的一端虽已着火燃烧，但另一端的温度基本上不变。

热扩散率反映导热过程动态特性，只对非稳态过程才有意义。（在稳态过程中，温度不随时间变化，所以热扩散率不起作用）

热扩散率和导热系数是两个不同的物理量。热扩散率综合了材料的导热能力和单位体积的热容量大小，而导热系数只是指材料导热能力的大小。导热系数小的材料，其热扩散率不一定小。例如，气体的导热系数很小，但它的热扩散率却和金属的相当，气体：15～165×10-6 m2/s，金属：3～165×10-6 m2/s。

2．常物性，无内热源

或 （1-13）

3．对常物性，稳态导热，，则

或 （1-14）

4．对常物性、无内热源的稳态导热，

（1-15）

问：式中无导热系数，有人因此说：常物性、无内热源的稳态导热中导热系数与物体内温度分布和到热量无关。你认为对吗？

答：，当t一定时，与有关。

当存在第二类或第三类边界条件时，将影响导热微分方程的解，即影响温度分布。这时，的影响是通过边界条件而引入的。

三、其它坐标系中导热微分方程

对圆柱坐标系（见图）

（1-16）

对球坐标系（见图）

（1-17）

对常物性、一维稳态且无内热源的导热问题，两方程可简化为

通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件（定解条件）。

第四节 导热过程的单值性条件

导热微分方程没有涉及具体、特定的导热过，是描写导热过程共性的通用表达式，适用于所有导热过程，但每一个具体的导热过程总是在特定条件下进行的，具有区别于其他导热过程的特点（即该过程的个性）。因此对于某一特定的导热过程，除了用导热微分方程式来描述外，还需要有表达该过程特点的补充说明条件。

单值性条件：确定唯一解的补充说明条件。

求解导热微分方程式可获得方程式的通解，结合单值性条件就可以求出特定问题的惟一解。（特解= 通解+单值性条件）

对具体的导热过程进行完整的数学描述，应包括两部分：导热微分方程式和单值性条件。

单值性条件包括四方面的内容：几何条件、物理条件、时间条件和边界条件。

一、几何条件

几何条件是指参与导热过程的物体的几何形状和大小。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。例如，形状是平壁，或是圆筒壁，壁的厚度，直径等。

二、物理条件

物理条件是指参与导热过程的物体的物理特性。例如，物体的物性参数、、的数值，它们随温度的变化关系，有没有内热源（它的大小和分布情况）等。

三、时间条件

说明导热过程的时间特点。

稳态导热，不存在时间条件，因为导热过程与时间无关。

非稳态导热，给出过程开始时物体内的温度分布情况，故也称初始条件。

（1-18）

最简单的初始条件是物体内初始温度分布均匀，即：常量

四、边界条件

说明导热过程在物体边界上进行的特点。给出导热物体边界上的温度或换热情况，体现着“外因”对物体温度场的内在规律性（内因）的影响。

参与导热的物体有几个边界，就应给出几个边界条件。常见导热物体的边界条件有三类：

1．第一类边界条件

给出任何时刻物体边界上的温度值，即：

式中，——边界面上的温度。

稳态导热：

非稳态导热：

2．第二类边界条件

给出任何时刻物体边界上的热流密度值，即：

（1-20a）

根据傅里叶定律，第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值。

或： （1-20b）

稳态导热：

非稳态导热：

特例：绝热边界面，此时边界上，或可表示为：

3．第三类边界条件（对流换热边界条件）

当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，给出边界面周围流体温度及边界面与流体之间的表面传热系数。物体边界上的导热量应等于物体与流体之间的对流换热量。

牛顿冷却定律：

傅里叶定律：

得： n——指向物体的外法线方向。

式中的和是未知的。

上式对物体被加热或冷却都适用。

对于如图所示的平板，左、右侧面的第三类边界条件的表达式是一样的吗？

左： 或

右：

4．三类边界条件之间的联系

在一定条件下，第三类边界条件可转化为第一、第二类边界条件。

根据

当时，由于边界面上的温度变化率只能是有限值，因此有，，即物体边界温度等于流体温度，，第三类边界条件变成第一类边界条件。

当，则得，所以，即物体边界面绝热，第三类边界条件变成第二类边界条件。

5 对于第三类边界条件的补充：

（1）如果边界面上辐射和对流并存时，边界条件的表达式为：

式中，——与物体表面进行辐射换热的外部环境的发射率。

Tsur——与物体表面进行辐射换热的外部环境的温度。

（2）在太空中物体导热的第三类边界条件，应为：

导热问题的求解思路：

物理问题数学描述求解方程温度分布热量计算

[例1-1]一厚度为δ的无限大平壁，其导热系数λ为常数，平壁内具有均匀的内热源。平壁的一侧是绝热的，一侧与温度为的流体直接接触进行对流换热，表面传热系数是已知的。试写出这一稳态导热过程的完整数学描述。

[解] 无限大平壁的导热是一个沿平壁厚度方向进行的一维导热。

对于常物性、具有均匀内热源的一维稳态导热问题，导热微分方程为：

边界条件：在的一侧给出的是绝热边界条件，属第二类边界条件，即：

在的一侧给出的是第三类边界条件，即：

以上三式完整地描述了给定的导热问题。

[讨论] 在如题中的一侧绝热的无限大平壁中，满足导热过程式稳态的条件是：内热源产生的热量与平壁一侧的对流换热量相等。

[例1-2]一半径为长度为的导线，其导热系数λ为常数，导线的电阻率为。导线通过电流而均匀发热。已知空气的温度为，导线与空气之间的表面传热系数为，试写出这一稳态过程的完整数学描述。

[解] 导线的长度比导线的直径大很多，导线的导热问题是轴对称的，是只沿径向由导线中心轴线处向导线外表面导热的一维问题，导线本身发热，是一个内热源。

这是一个常物性、具有均匀内热源的一维稳态导热问题。采用圆柱坐标系。

导热微分方程为：

内热源的强度：

边界条件：在处，给出的是第三类边界条件，即：

在处，根据轴对称，该处的温度具有最大值，温度梯度为零，即：

以上四式完整地描述了给定的导热问题。

[讨论] 在如题中情况，满足导热过程式稳态的条件是：导线通电发出的热量等于它向周围空气的散热量。 在导线中心上温度具有最大值，求解这个问题，可以算出导线的最大允许电流。

思考题：

1．已知圆筒壁内外两侧的壁温，且无内热源，物性为常数。试直接从傅里叶定律解出的其一维稳态问题的温度分布曲线。

2．工业上锅炉为什么必须定期除垢？

3．若想按公式来设计一台测量导热系数的实验台。请考虑要使用的设备及必需具备的实验条件。

4．试将三类边界条件表示成统一的表达式。什么时候第三类边界条件可以转化为第一类?

5．试问发生在一个短圆柱中的导热问题，在哪些情形下可以按一维问题来处理？

6．导热微分方程的适用条件是什么？

7．热扩散率的物理意义。

8．一面绝热的无限大平壁被流体加热（或冷却）过程中，与流体接触处平壁的最大，对吗？

9．有均匀内热源的常物性无限大平壁，稳态导热时的温度分布为：

10．从绝热面上某一点a出发，画出的三条温度分布曲线，哪些是可能的？

11．对于一维稳态导热，，，分别具有什么意义？又具有什么含义？

12．对于单层平壁的稳态导热来说，保证一维温度场的条件应该是下述的哪一个？

（1）平壁的长、宽应该远远大于平壁的厚度。

（2）两侧表面的温度均匀。

（3）以上两条必须同时满足。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/753c3605a65177232f60ddccda38376baf1fe0d2.html