全等三角形
本章总结提升
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问题1 命题与逆命题、定理与逆定理
什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？
例1 下列命题的逆命题不是定理的是( )
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
问题2 运用全等三角形解决问题
从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？
例2 已知：如图13－T－1所示，CD∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线BC分别交DC，AB于C，B两点．
求证：AD＝AB＋CD.
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图13－T－1
问题3 尺规作图
什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？
例3 如图13－T－2，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求回答问题：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.
由(1)(2)观察：线段EF与线段BD有怎样的关系？
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图13－T－2
问题4 等腰三角形、角平分线和线段垂直
平分线的综合应用
利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？
例4 如图13－T－3所示，AC⊥CD，BD⊥CD，线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD 于点F，且AC＝FD，连结AF，BF.
求证：△ABF是等腰直角三角形．
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图13－T－3
等角对等边的几个应用
等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛．我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件．不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的．那么，能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第82页就证明了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，这个结论简称为“等角对等边”．至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了．下面，我们来看看这个定理的常见应用：
一、用等角对等边判定等腰三角形
例1 如图13－T－4，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.
(1)求证：BC＝AD；
(2)试判断△OAB的形状，并说明理由．
解：(1)证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵AB＝BA，AC＝BD，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(H.L.)，
∴BC＝AD.
(2)△OAB是等腰三角形．
理由：由△ACB≌△BDA，得∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形．
[点评] 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等．
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图13－T－4
二、用等角对等边证明等腰三角形
例2 如图13－T－5，点O是AD，BC的交点，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD.求证：△ABO是等腰三角形．
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图13－T－5
[解析] 要证明△ABO是等腰三角形，由图可知，就是要证明OA＝OB，也就是要证明∠CBA＝∠DAB，则只要证明△ABC≌△BAD即可．
证明：∵AC＝BD(已知)，
∠BAC＝∠ABD(已知)，
AB＝BA(公共边)，
∴△ABC≌△BAD(S.A.S.)，
∴∠CBA＝∠DAB(全等三角形的对应角相等)，
∴OA＝OB (等角对等边)，
即△ABO是等腰三角形．
[点评] 由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果．
三、用等角对等边计算等腰三角形
例3 已知三角形的内角分别是x度，y度，且x2－y2＝0.三角形的一边长为7，另一边长为10，求它的周长．
[解析] 先由内角关系x2－y2＝0，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长．
解：由x2－y2＝0，得(x＋y)(x－y)＝0.
因为x＋y≠0，
所以x－y＝0,
即x＝y.
由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形．
当腰长是7时，则底边长是10，其周长是7＋7＋10＝24；
当腰长是10时，则底边长是7，其周长是10＋10＋7＝27.
所以这个三角形的周长是24或27.
[点评] 涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解．
详解详析
【整合提升】
例1 C
例2 [解析] 要证AD＝AB＋CD，在AD上截取线段AF，使AF＝AB，只需证DF＝DC即可．
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证明：在线段AD上截取线段AF，使AF＝AB，连结EF.
在△ABE和△AFE中，
∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE(S.A.S.)，
∴∠B＝∠AFE(全等三角形的对应角相等)．
∵CD∥AB，
∴∠C＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠DFE.
在△CDE和△FDE中，
∵∠CDE＝∠FDE，∠C＝∠DFE，DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE(A.A.S.)，
∴DC＝DF，
∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD.
例3 [解析] (1)以点B为圆心，任意长为半径画弧与AB，BC交于E，F两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点B与两弧在∠ABC内部的交点并延长，与AC交于点D，BD就是所求作的角平分线．
(2)分别以B，D为圆心，以大于BD一半的长为半径在BD的两侧画弧交于两点，连结两弧的交点，交AB于点E，交BC于点F，EF就是所求作的线段BD的垂直平分线．
解：(1)，(2)如图所示．
从图中可以看出EF与BD互相垂直平分．
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例4 [解析] ∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF.
只需再证∠AFB＝90°，
即证∠AFC＋∠BFD ＝90°.
根据“H.L.”可判定Rt△ACF和Rt△FDB全等，从而∠CAF＝∠DFB，
再由∠AFC＋∠CAF＝90°可证∠AFC＋∠DFB ＝90°.
证明：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝FB.
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF 与△FDB都是直角三角形．
在Rt△ACF与Rt△FDB中，
∵AC＝FD，FA＝FB,
∴Rt△ACF≌Rt△FDB(H.L.)，
∴∠CAF＝∠DFB.
∵∠C＝90°，
∴∠CAF＋∠CFA＝90°，
∴∠CFA＋∠DFB＝90°，
∴∠AFB＝90°，
故△ABF是等腰直角三角形．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/74ccd1a2bc64783e0912a21614791711cc7979a8.html
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