2017 - 18学年高中数学第二章参数方程一2圆的参数方程教学案

2．圆的参数方程

圆的参数方程

(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．

(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．

(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．

[例1]　圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．

[思路点拨]　根据圆的特点，结合参数方程概念求解．

[解]　如图所示，

设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心，

∴∠MO′x＝2φ.

∴

(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成

(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．

解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，

设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则

参数方程为(0≤θ＜2π)．

2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：设中点M(x，y)．则

即(θ为参数)

这就是所求的轨迹方程．

它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.

[例2]　若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．

[思路点拨]　(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．

[解]　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有

x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，

故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2.

＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)．

∴－2≤2x＋y≤2.

即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.

圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．

3．已知圆C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．

解：法一：∵消去θ，

得x2＋(y＋1)2＝1.

∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1.

∴圆心到直线的距离d＝≤1.

解得1－≤a≤1＋.

法二：将圆C的方程代入直线方程，得

cos θ－1＋sin θ＋a＝0，

即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin(θ＋)．

∵－1≤sin(θ＋)≤1，∴1－≤a≤1＋.

一、选择题

1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为(　　)

A．(0,2)　　　　　　　　　 B．(0，－2)

C．(－2,0) D．(2,0)

解析：将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．

答案：D

2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．

答案：C

3．直线：3x－4y－9＝0与圆：，(θ为参数)的位置关系是(　　)

A．相切 B．相离

C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心

解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，故选D.

答案：D

4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)

A．36 B．6

C．26 D．25

解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：

(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2

＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α

＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.

答案：A

二、填空题

5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．

解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为

令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±.

∴交点坐标为(1，)和(1，－)．

答案：(1，)；(1，－)

6．参数方程表示的图形是________．

解析：x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．

答案：圆

7．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是________．

解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．

则即为所求．

答案：

三、解答题

8．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点

①画图并写出⊙O的参数方程；

②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．

解：①如图所示，

⊙O的参数方程

②设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，

因Q(6,0)，

∴M的参数方程为

即

9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.

故D的直角坐标为，即.

10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．

(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，

C2的普通方程为x2＋y2＝1.

联立方程组

解得C1与C2的交点为(1,0)，.

(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.

A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

(α为参数)．

P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7425da72747f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f21.html