广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分(1)

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（1）

一、选择题

．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意正数, 若,则必有 （　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数,则 （　　）

A． B． C． D．

【答案】B

二、填空题

．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）计算______

【答案】6

．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）=______________

【答案】

．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）=________.

【答案】2

．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）若 ,则实数a的值是_________.

【答案】

．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）对于三次函数的导数,函数是的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:

(1)函数的对称中心坐标为_________________;

(2)计算=__________________.

【答案】对称中心 ; 2012

．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数

【答案】 (答对一个不得分)

．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数的导数处取得极大值,则的取值范围为__________

【答案】

．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）曲线、直线与轴所围成的图形面积为__________

【答案】

．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）函数在区间上最大值为____________

【答案】解析: ,

．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）设函数在(,+)内有意义.对于给定的正数K,已知函数,取函数=.若对任意的(,+),恒有=,则K的最小值为_____________.

【答案】2

．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2.则正实数a=____

【答案】

．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）函数y=lnx在点A(1,0)处的切线方程为_______.

【答案】

三、解答题

．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）设函数,其中.

(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;

(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;

(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围

【答案】解:(Ⅰ).

当时,.

令,解得,,.

当变化时,,的变化情况如下表:

所以在,内是增函数,在,内是减函数.

(Ⅱ)解:,显然不是方程的根.

为使仅在处有极值,必须恒成立,即有.

解此不等式,得.这时,是唯一极值.

因此满足条件的的取值范围是.

(Ⅲ)解:由条件可知,从而恒成立.

当时,;当时,.

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.

为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当

即

在上恒成立.所以,因此满足条件的的取值范围是

．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知函数,函数是函数的导函数.

(1)若,求的单调减区间;

(2)若对任意且,都有,求实数的取值范围;

(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数M,使得对任意时恒成立,求M的最小值及相应的的值.

【答案】解:(1)当时,,

由,解得

当时,函数的单调减区间为

(2)易知.

依题意知

因为,所以,即实数的取值范围是

(3)解法一

易知,.

显然,由(2)知抛物线的对称轴

①当,即时,且.

令,解得,

此时取较大的根,即

,

②当,即时,且.

令,解得

此时取较小的根,即

,,当且仅当时取等号

由于,所以当时,取得最小值

解法二

对任意时,“恒成立”等价于“且”.

由(2)可知实数的取值范围是,故的图象是开口向上,对称轴的抛物线

①当时,在区间上单调递增,

∴,

要使最小,只需要

若,即时,无解;

若,即时,

解得(舍去) 或,

故(当且仅当时取等号)

②当时,在区间上单调递减,在递增,

,则

要使最小,则,

即,

解得(舍去),

或(当且仅当时取等号)

综上所述,当时,的最小值为

．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数,,图象与轴异于原点的交点M处的切线为,与轴的交点N处的切线为, 并且与平行.

(1)求的值;

(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;

(3)令,给定,对于两个大于1的正数,

存在实数满足:,,并且使得不等式

恒成立,求实数的取值范围.

【答案】解: 图象与轴异于原点的交点,

图象与轴的交点,

由题意可得,即,

∴,

=

令,在 时,,

∴在单调递增,

图象的对称轴,抛物线开口向上

①当即时,

②当即时,

③当即时,

,

所以在区间上单调递增

∴时,

①当时,有,

,

得,同理,

∴ 由的单调性知 、

从而有,符合题设

②当时,,

,

由的单调性知 ,

∴,与题设不符

③当时,同理可得,

得,与题设不符

∴综合①、②、③得

说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知三次函数为奇函数,且在点 的切线方程为.

(1) 求函数的表达式.

(2) 求曲线在点处的切线方程,并求曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积.

(3) 如果过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围;

【答案】(1)解:恒成立

又在点的切线方程为,即

(2)解:设切点为,则切线方程是:

,

令得

所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是

时

时

时,切线与曲线恰有一个公共点, (此步不扣分)综上:曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积

(3)解: 令切线过,代入整理得:

关于有三个不同的解;

设即有三个不同的零点;

又时递减;

在区间上分别递增,故

．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数,.

(Ⅰ)若函数在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围;

(Ⅱ)若函数的图象在处的切线的斜率为,且

,已知,求证:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.

【答案】

．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数,其中实数是常数.

(Ⅰ)已知,,求事件:“”发生的概率;

(Ⅱ)若是上的奇函数,是在区间上的最小值,求当时的解析式;

(Ⅲ)记的导函数为,则当时,对任意,总存在使得,求实数的取值范围.

【答案】

① 当时,因为,所以,在区间上单调递减,从而;

② 当时,因为,所以,在区间上单调递增,从而,

综上,知

．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知函数,其中是自然对数的底数,.

(1)当时,解不等式;

(2)当时,求整数的所有值,使方程在上有解;

(3)若在上是单调增函数,求的取值范围.

【答案】解:(1)因为,所以不等式即为,又因为,所以不等式可化为,所以不等式的解集为. (4 分)

(2)当时, 方程即为,由于,所以不是方程的解,所以原方程等价于,令,因为对于恒成立,

所以在和内是单调增函数, 又, , , ,所以方程有且只有两个实数根,且分别在区间和上,所以整数的所有值为.

(3),

①当时, ,在上恒成立,当且仅当时取等号,故符合要求; (10 分)

②当时,令,因为,

所以有两个不相等的实数根, ,不妨设,因此有极大值又有极小值.

若,因为,所以在内有极值点,

故在上不单调.

若,可知,

因为的图象开口向下,要使在上单调,因为,必须满足即所以.

综上可知,的取值范围是.

．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）

设函数

(1)若,求的值;

(2)求函数的单调区间;

(3)已知对任意成立,求实数的取值范围.

【答案】

．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数,曲线在点处的切线方程为

(1)证明:对,;

(2)当时,恒成立,求实数的取值范围

【答案】解:(1)由得

由题意知

令

则

当时,,故在单调递减

当时,,故在单调递增

所以,即

(2)ⅰ)当时,由(1)知,当得

故

ⅱ)当时,令

则

令,则,

故在上单调递增,而

故存在区间使得,即存在区间使单调递减,

所以存在区间使得,即

这与在上恒成立矛盾

综上可得

．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）

已知函数,为函数的导函数.

(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;

(2)若函数,求函数的单调区间.

【答案】

②当时,令,得或

(ⅰ)当,即时,

的单调递增区间为,单调递减区间为,;

(ⅱ)当,即时,,

故在单调递减;

(ⅲ)当,即时,

在上单调递增,在,上单调递减

综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;

．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）集合A={},B={},D=A∩B.

(I)当a=2时,求集合D(用区间表示);

(II)当时,求集合D(用区间表示);

(III)在(II)的条件下,求函数在D内的极值点.

【答案】解:(1) A=

当a=2时 B=

解不等式 得 或

(2)不等式 令

=

=

=

=

① 当

② 当

③ 当

(3)

令

当

当

① 当时

当

当

当

② 当

此时

③

当

此时

又

,此时

当

综上所述:

当 时,;

当 ,时;

当,;

当,﹒

．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知函数.

(I)若,是否存在a,bR,y=f(x)为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;

〔II)若a=2,b=1.求函数在R上的单调区间;

(III )对于给定的实数成立.求a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)存在使为偶函数,

证明如下:此时:,

,为偶函数.

(注:也可以)

(Ⅱ)=,

①当时,

在上为增函数.

②当时,

则,令得到,

(ⅰ)当时,在上为减函数.

(ⅱ) 当时,在上为增函数.

综上所述:的增区间为,减区间为.

(Ⅲ),

,成立.

即:

①当时, 为增函数或常数函数,当时

恒成立.

综上所述:

②当时,在[0, 1]上为减函数,

恒成立.

综上所述:(13分)

由①②得当时,;

当时,.

．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数.

(1)当a=1时,使不等式,求实数m的取值范围;

(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求实数a的取值范围.

【答案】

．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知函数f(x)=-1,,其中e是自然对数的底,e=2.71828.

(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;

(2)求方程f(x)=g(x)根的个数,并说明理由;

(3)若数列{}()满足为常数),,

证明:存在常数M,使得对于任意,都有

【答案】解:

(1)由h(x)=f(x)-g(x)=-1-,得:

h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2->0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.

(2)由(1)得:h(x)=-1-

由知,,而,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点.

解法1:-1,记-1,则.

当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点.有且只有两个零点.

所以,方程f(x)=g(x)根的个数为2.

(3)记的正零点为,即.

(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:

①当时,显然成立;

②假设当时,有成立,则当时,由

知,,因此,当时,成立.

故对任意的,成立.

(2)当时,由(1)知,在上单调递增.则,即.从而,即,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:

①当时,显然成立;

②假设当时,有成立,则当时,由

知,,因此,当时,成立.

故对任意的,成立.

综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.

．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数,函数是函数的导函数.

(1)若,求的单调减区间;

(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;

(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值.

茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷(理科

【答案】解:(1)当时,,

由解得

当时函数的单调减区间为;

(2)易知

依题意知

因为,所以,即实数的取值范围是 ;

(3)解法一:易知,.

显然,由(2)知抛物线的对称轴

①当即时,且

令解得

此时取较大的根,即

,

②当即时,且

令解得

此时取较小的根,即

, 当且仅当时取等号

由于,所以当时,取得最小值

解法二:对任意时,“恒成立”等价于“且”

由(2)可知实数的取值范围是

故的图象是开口向上,对称轴的抛物线

①当时,在区间上单调递增,

∴,

要使最小,只需要

若即时,无解

若即时,

解得(舍去) 或

故(当且仅当时取等号)

②当时,在区间上单调递减,在递增,

则,

要使最小,则即

解得(舍去)

或(当且仅当时取等号)

综上所述,当时,的最小值为

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