[恒心]2015届黑龙江省某重点中学高三期末考试数学（理科）试题及参考答案纯word版

2015届高三年级期末考试

数 学 试 题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．的值为

A． B． C． D．

2．设全集，，

A． B． C． D．

3．设，则“”是“复数”为纯虚数的

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设等差数列的前n项和为，若，则必定有

A． B．

C． D．

5．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为

A. B. C. D.

6．函数在区间上的单调递增区间为

A． B．

C． D．

7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，

其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何

体的体积是

A． B．4

C． D．3

8．、、三点不共线，为的中点，对于平面

内任意一点都有，则

A. B. C. D.

9．将边长为的等边沿轴正方向滚动，某时刻与坐标原点重合(如图)，设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：

①的值域为； ②是周期函数；

③； ④.

其中正确的说法个数为

A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3

10．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含个小正方形．则等于

A．761 B．762 C．841 D．842

12．若、是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）

13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比

赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得

分的中位数之和是___________．

14．已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为5,圆的面积为,则圆N的面积为______________.

15．已知，是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为________．

16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号）

①若AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；

②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；

③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为；

④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；

⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

三、解答题：

17．（本小题满分12分）

在中，内角所对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）如果，求面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（单位： mg/100ml）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．

（1）若血液酒精浓度在和的分别有9人和6人，请补全频率分布直方图。图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S的值，并说明S的统计意义；（图乙中数据与分别表示图甲中各组的组中点值及频率）

（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设为吴、李两位先生被抽中的人数，求的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.

（1）求证：；

（2）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

如图，已知圆，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知是轨迹的三个动点，与关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数有两个不同的零点，求证：．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.

(1)求证：△DEF∽△EFA；

(2)如果FG＝1，求EF的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知,不等式的解集为.

(1)求；

(2)当时,证明:.

2015届高三理科数学答案

一、 选择题：

二、填空题：

13、 55 14、 15、 16、①②④

三、解答题：

17、（本小题满分12分）

（1），由正弦定理得， ………………………4分

. …………………………6分

（2）， ……………………………8分

又，所以，当且仅当取等号.………………………10分

，

为正三角形时，. ……………………………12分

18、（本小题满分12分）

（1）的频率为

的频率为

S统计意义：酒精浓度的平均数为

……4分

（2）70～90共有人

的可能值为

…………8分

所以，的分布列为：

……………10分

记“吴、李两位先生至少有1人被抽中”为事件A

…………12分

19、（本小题满分12分）

（1）证明：连接BM，则AM=BM=，所以

又因为面平面，

所以，

（2）建立如图所示的空间直角作标系

由（1）可知，平面ADM的法向量

设平面ABCM的法向量，

所以，

二面角的余弦值为

得，，即：E为DB的中点。

20、（本小题满分12分）

（1）在线段的垂直平分线上，所以；

得，

又，得的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆.

. …………………………………………………4分

（2）当AB的斜率存不存在或为零时，｜AB｜=4，｜OC｜=1，S=2；｜AB｜=2，｜OC｜=2，S=2

当AB的斜率存存在且不为零时，

与关于原点对称，设

，在的垂直平分线上，.

，

， 同理可得，………6分

……………8分

，当且仅当时取等号，

所以， …………………………………………………………………11分

当时. ………………12分

21、（本小题满分10分）

（1）切线方程为： …………………………………………3分

（2）

①当， 所以，在递增，

②当时，，所以，在递减，

③当，递增，递减 ………7分

（3）设

所以，在递增，递减

，所以，

…………………………………10分

设

设

设

所以，在递减，

所以，在递增，

所以，在递减

所以，当时，，

所以， ………………12分

22、（本小题满分10分）

（1）证明：

∽ ……5分

（2）∽

又因为FG为切线，则

所以，EF=FG=1. ………………10分

23、（本小题满分10分）

（1）: ，

将 代入的普通方程得，即

；……5分

（2）设， 则

所以，即

代入，得，即

中点的轨迹方程为 ……………………………10分

24、（本小题满分10分）

（1）解不等式：

或 或或或，

. ………………………………5分

（2）需证明：，

只需证明，

即需证明。

证明：

，所以原不等式成立. ……………………………………10分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6c8a0fe76bec0975f565e23e.html