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2019甘肃省普通高中招生考试数学试卷 解析版

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甘肃省2019年普通高中招生考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0
3．（3分）使得式子A．x≥4
B．2
C．﹣3
D．﹣
有意义的x的取值范围是（）B．x＞4
C．x≤4
D．x＜4
4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6
B．4a6
C．﹣2a6
D．﹣4a8
5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）

A．48°
B．78°
C．92°
D．102°
6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）
B．（0，4）
C．（﹣4，0）
D．（0，﹣4）
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1
B．0
C．1或﹣1
D．2或0
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）

1


A．54°B．64°C．27°D．37°
9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）甲乙
参加人数平均数中位数方差4545
9494
9395
5.34.8
A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．③④⑤
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组13．（3分）分式方程
＝
的最小整数解是．的解为．
，则cosB＝．
14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝
15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．
2



16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．

17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．

18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．

三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.
19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣
3

tan60°﹣|﹣3|．

20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）


21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）


4


23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：748175767075757981707480916982八年级：819483778380817081737882807050整理数据：
年级七年级八年级
x＜6001
60≤x＜80
105
80≤x＜90
48
90≤x≤100
11
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不
5


含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：
年级七年级八年级得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
平均数77.5
中位数7580
众数75


6


26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．


27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．


28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
7




参考答案与试题解析
1．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．2．【分析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．3．【解答】解：使得式子范围是：x＜4．故选：D．
4．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．
5．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．
有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值

6【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，
则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．
7．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．8．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．
8


9．【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．
【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．
10．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：
＜1，∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞
时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．
11．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．【解答】解：不等式组整理得：则最小的整数解为0，故答案为：0
13．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．
14．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝答案为：．
15．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×故答案为（18+2
）cm2．
扇形ADE
，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cosB＝＝．故
cm，
＝18+2
（cm2）．
16．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC
，∠A＝∠B＝45°，∵D是
中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2AB的中点，
9


∴AD＝DB＝﹣
，
，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2
故答案为：2﹣
17．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝
．
【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，
在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．
18．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．三19．【解答】解：原式＝4+1﹣
20．【解答】解：如图，点M即为所求，
，＝1．
，故答案为

21．【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解
10


答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝解得：x＝39，∴
＝15，则共有39人，15辆车．
，去分母得：2x+12＝3x﹣27，
22．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，
∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，
∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

23．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
11


m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为
＝，小利获胜的概率为
＝，
∴小明、小利获胜的概率一样大．

【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
四、24．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：
（1）七年级的平均数为9+82）＝76.8，
八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×
＝20（人）．
（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+6
25．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝
上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），
，解得
，
把A，B坐标代入y＝kx+b，则有
12


∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．
（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．
26．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；
（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
27．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△
2
BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）﹣102，可得x2+62＝（x+8）
13


2
﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，
∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝
＝
．

28．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，

则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），
14


当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，

AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：
＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
15




本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6c53454dbbd528ea81c758f5f61fb7360b4c2bb3.html

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