梯形知识大全

梯形的辅助线口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

（一）、平移

1、平移一腰：

例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.

所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

在Rt△DAE中，由勾股定理，得

AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.

所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.

即CD＝8.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

解：过点B作BM//AD交CD于点M，

在△BCM中，BM=AD=4，

CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，

所以BC的取值范围是：

5－4＋4，即1。

2、平移两腰：

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以

3、平移对角线：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．

∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形

∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4

∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5

∴∠BDE=90°．

作DH⊥BC于H，则

．

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，

易得四边形BCED是平行四边形，

则DE=BC，CE=BD=，

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，

所以在△ACE中，，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，

则四边形ACED是平行四边形，

即。

所以

由勾股定理得

（cm）

（cm）

所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。

在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.

∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，

∴△DAB≌△CBA.

∴∠DAB＝∠CBA.

∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，

∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.

又AD不平行于BC，

∴四边形ABCD是等腰梯形.

（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，

所以Rt△BAD≌Rt△BED，

得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DG⊥AB于点G，

则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，

求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm

∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm

∴AB=2BE=2cm，

∴

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。

在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>AC

（五）、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以 ②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。

证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线

从而EF//BG，且

因为AD//BG，

所以EF//AD，EF

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分别延长AE与BC ，并交于F点

∵∠BAD=900且AD∥BC

∴∠FBA=1800－∠BAD=900

又∵AD∥BC

∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)

∠AED=∠FEC （对顶角相等）

DE=EC （E点是CD的中点）

∴△ADE≌△FCE （AAS）

∴ AE=FE

在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE

∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE

例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

解：AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F．

∵DE=CE，∠AED=∠CEF，

∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC， ∴BE=AE．

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．

解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．

∵DE=EC，AD∥BC

∴△DEM≌△CNE

四边形ABNM是平行四边形

∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.

例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.

分析：要证明CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题.

证明：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，

所以AE=BE=CE=BC，∠ACB=45°，所以AE=DF=，

又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，

又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=，

所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.

所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD.

图9

说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.

例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.

分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.

解：过点D作DF//AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DE⊥BC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)

=×10=5.

因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF,

因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5.

图10

说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.

和中位线有关辅助线的作法

例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.

分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.

证明：取AD中点P，连结PE，PF.

因为E是AB的中点，F是CD的中点，

所以PE//BD，且PE=BD，PF//AC，且PF=AC，

所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，

所以OG=OH.

说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.

2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ）

A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6c50f29f4431b90d6c85c7dc.html