大学全册高等数学知识点（全）

大学高等数学知识点整理

公式，用法合集

极限与连续

一. 数列函数:

1. 类型:

(1)数列: *; *

(2)初等函数:

(3)分段函数: *; *;*

(4)复合(含)函数:

(5)隐式(方程):

(6)参式(数一,二):

(7)变限积分函数:

(8)级数和函数(数一,三):

2. 特征(几何):

(1)单调性与有界性(判别); (单调定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数:

二. 极限性质:

1. 类型: *; * (含); * (含)

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型:

4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性

三. 常用结论:

, , ,

, , , ,

,

四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当时,

; ; ;

; ; ;

;

2. 泰勒公式:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5).

五. 常规方法:

前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:)

1. 抓大弃小,

2. 无穷小与有界量乘积 () (注:)

3.处理(其它如:)

4. 左右极限(包括):

(1); (2); ; (3)分段函数:, ,

5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)

6. 洛必达法则

(1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比:与)

(2)幂指型处理: (如:)

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小

8. 极限函数: (分段函数)

六. 非常手段

1. 收敛准则:

(1)

(2)双边夹: *, *

(3)单边挤: * * *

2. 导数定义(洛必达?):

3. 积分和: ,

4. 中值定理:

5. 级数和(数一三):

(1)收敛, (如) (2),

(3)与同敛散

七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *

(1)

(2)

2. 渐近线(含斜):

(1)

(2),()

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)

八.上连续函数性质

1. 连通性: (注:, “平均”值:)

2. 介值定理: (附: 达布定理)

(1)零点存在定理: (根的个数);

(2).

第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一. 基本概念:

1. 差商与导数: ;

(1) (注:连续))

(2)左右导: ;

(3)可导与连续; (在处,连续不可导;可导)

2. 微分与导数:

(1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);

二. 求导准备:

1. 基本初等函数求导公式; (注:)

2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数

三. 各类求导(方法步骤):

1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3)

(注:, 求:及的连续性)

2. 初等导(公式加法则):

(1), 求: (图形题);

(2), 求: (注:)

(3),求及 (待定系数)

3. 隐式()导:

(1)存在定理;

(2)微分法(一阶微分的形式不变性).

(3)对数求导法.

4. 参式导(数一,二):, 求:

5. 高阶导公式:

; ;

;

注:与泰勒展式:

四. 各类应用:

1. 斜率与切线(法线); (区别:上点和过点的切线)

2. 物理: (相对)变化率速度;

3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)

五. 单调性与极值(必求导)

1. 判别(驻点):

(1); ;

(2)分段函数的单调性

(3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值).

2. 极值点:

(1)表格(变号); (由的特点)

(2)二阶导()

注(1)与的匹配(图形中包含的信息);

(2)实例: 由确定点“”的特点.

(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

3. 不等式证明()

(1)区别: *单变量与双变量? *与?

(2)类型: *; *

*; *

(3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:)

4. 函数的零点个数: 单调介值

六. 凹凸与拐点(必求导!):

1.表格; ()

2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.

七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)

1. 结论:

2. 辅助函数构造实例:

(1)

(2)

(3)

(4) ;

3.有个零点有个零点

4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定)

5. 注: 含时,分家!(柯西定理)

6. 附(达布定理):在可导, , ,使:

八. 拉格朗日中值定理

1. 结论:; ()

2. 估计:

九. 泰勒公式(连接之间的桥梁)

1. 结论:;

2. 应用: 在已知或值时进行积分估计

十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]

第三讲: 一元积分学

一. 基本概念:

1. 原函数:

(1); (2); (3)

注(1) (连续不一定可导);

(2) (连续)

2. 不定积分性质:

(1);

(2);

二. 不定积分常规方法

1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活()

如:

4. 变量代换:

(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):

(2)作用与引伸(化简):

5. 分部积分(巧用):

(1)含需求导的被积函数(如);

(2)“反对幂三指”:

(3)特别: (*已知的原函数为; *已知)

6. 特例: (1); (2)快速法; (3)

三. 定积分:

1. 概念性质:

(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续)

(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)

*; *

(3)附:, )

(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分的处理(重点)

(1)可积连续,连续可导

(2) ; ;

(3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

3.公式: (在上必须连续!)

注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性

(2)有理式, 三角式, 根式

(3)含的方程.

4. 变量代换:

(1),

(2) (如:)

(3),

(4); ,

(5),

5. 分部积分

(1)准备时“凑常数”

(2)已知或时, 求

6. 附: 三角函数系的正交性:

四. 反常积分:

1. 类型: (1) (连续)

(2): (在处为无穷间断)

2. 敛散;

3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部)

4. 特例: (1); (2)

五. 应用: (柱体侧面积除外)

1. 面积,

(1) (2);

(3); (4)侧面积:

2. 体积:

(1); (2)

(3)与

3. 弧长:

(1)

(2)

(3):

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):

(1);

(2), (以为周期:)

第四讲: 微分方程

一. 基本概念

1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)

2. 变换方程:

(1)令(如欧拉方程)

(2)令(如伯努利方程)

3. 建立方程(应用题)的能力

二. 一阶方程:

1. 形式: (1); (2); (3)

2. 变量分离型:

(1)解法:

(2)“偏”微分方程:;

3. 一阶线性(重点):

(1)解法(积分因子法):

(2)变化:;

(3)推广: 伯努利(数一)

4. 齐次方程:

(1)解法:

(2)特例:

5. 全微分方程(数一):且

6. 一阶差分方程(数三):

三. 二阶降阶方程

1.:

2.: 令

3.: 令

四. 高阶线性方程:

1. 通解结构:

(1)齐次解:

(2)非齐次特解:

2. 常系数方程:

(1)特征方程与特征根:

(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附:的算子法)

(3)由已知解反求方程.

3. 欧拉方程(数一):, 令

五. 应用(注意初始条件):

1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积);

注: 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程(含变限积分);

可设

3. 导数定义立方程:

含双变量条件的方程

4. 变化率(速度)

5.

6. 路径无关得方程(数一):

7. 级数与方程:

(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:

8. 弹性问题(数三)

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),

(1)

(2)

(3) (判别可微性)

注:点处的偏导数与全微分的极限定义:

2. 特例:

(1): 点处可导不连续;

(2): 点处连续可导不可微;

二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导:

注: (1)型; (2); (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):

熟练掌握记号的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定):

(1)形式: *; * (存在定理)

(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (要求: 二阶导)

(3)注:与的及时代入

(4)会变换方程.

三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式):

(1)必要条件(驻点);

(2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件)

(2)求解步骤: , 求驻点即可.

3. 有界闭域上最值(重点).

(1)

(2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作):

(1),

(2)对称性(熟练掌握): *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;

(3)“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶

2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“”为主;

(2)交换积分次序(熟练掌握).

3. 极坐标使用(转换):

附:; ;

双纽线

4. 特例:

(1)单变量:或

(2)利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心

5. 无界域上的反常二重积分(数三)

五: 一类积分的应用():

1. “尺寸”: (1); (2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 无穷级数(数一,三)

一. 级数概念

1. 定义: (1), (2); (3) (如)

注: (1); (2) (或); (3)“伸缩”级数:收敛收敛.

2. 性质: (1)收敛的必要条件: ;

(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论);

(3);

二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义:; (2)特征:; (3)收敛(有界)

2. 标准级数: (1), (2), (3)

3. 审敛方法: (注:,)

(1)比较法(原理): (估计), 如;

(2)比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算)

三. 交错级数(含一般项): ()

1. “审”前考察: (1) (2); (3)绝对(条件)收敛?

注: 若,则发散

2. 标准级数: (1); (2); (3)

3. 莱布尼兹审敛法(收敛?)

(1)前提:发散; (2)条件:; (3)结论:条件收敛.

4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2).

5. 注意事项: 对比; ; ; 之间的敛散关系

四. 幂级数:

1. 常见形式:

(1), (2), (3)

2. 阿贝尔定理:

(1)结论:敛; 散

(2)注: 当条件收敛时

3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)

注(1)与同收敛半径

(2)与之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

;

;

(2)分解: (注:中心移动) (特别:)

(3)考察导函数:

(4)考察原函数:

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):

(1)

(2),(注意首项变化)

(3),

(4)的微分方程

(5)应用:.

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利:; (2)现值:

五. 傅里叶级数(数一): ()

1. 傅氏级数(三角级数):

2.充分条件(收敛定理):

(1)由(和函数)

(2)

3. 系数公式:

4. 题型: (注:)

(1)且(分段表示)

(2)或

(3)正弦或余弦

*(4) ()

*5.

6. 附产品:

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

一. 向量基本运算

1.; (平行)

2.; (单位向量(方向余弦) )

3.; (投影:; 垂直:; 夹角:)

4.; (法向:; 面积:)

二. 平面与直线

1.平面

(1)特征(基本量):

(2)方程(点法式):

(3)其它: *截距式; *三点式

2.直线

(1)特征(基本量):

(2)方程(点向式):

(3)一般方程(交面式):

(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示:)

3. 实用方法:

(1)平面束方程:

(2)距离公式: 如点到平面的距离

(3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备)

1. 曲面

(1)形式: 或; (注: 柱面)

(2)法向(或)

2. 曲线

(1)形式, 或;

(2)切向: (或)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面:

2. 球面:

变形:, ,

,

3. 锥面:

变形:,

4. 抛物面:,

变形: ,

5. 双曲面:

6. 马鞍面:, 或

五. 偏导几何应用

1. 曲面

(1)法向:, 注:

(2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向:

(2)切线与法平面

3. 综合: ,

六. 方向导与梯度(重点)

1. 方向导(方向斜率):

(1)定义(条件):

(2)计算(充分条件:可微):

附:

(3)附:

2. 梯度(取得最大斜率值的方向):

(1)计算:

;

(2)结论

;

取为最大变化率方向;

为最大方向导数值.

第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分()

1.域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心

(2)投影法:

(3)截面法:

(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球

2.的特征:

(1)单变量, (2), (3), (4)

3. 选择最适合方法:

(1)“积”前: *; *利用对称性(重点)

(2)截面法(旋转体): (细腰或中空, ,)

(3)投影法(直柱体):

(4)球坐标(球或锥体): ,

(5)重心法():

4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力

(2)公式

二. 第一类线积分()

1. “积”前准备:

(1); (2)对称性; (3)代入“”表达式

2. 计算公式:

3. 补充说明:

(1)重心法: ;

(2)与第二类互换:

4. 应用范围

(1)第一类积分

(2)柱体侧面积

三. 第一类面积分()

1. “积”前工作(重点):

(1); (代入)

(2)对称性(如: 字母轮换, 重心)

(3)分片

2. 计算公式:

(1)

(2)与第二类互换:

四: 第二类曲线积分(1): (其中有向)

1. 直接计算: ,

常见(1)水平线与垂直线; (2)

2. Green公式:

(1);

(2): *换路径; *围路径

(3) (但内有奇点) (变形)

3. 推广(路径无关性):

(1) (微分方程) (道路变形原理)

(2)与路径无关(待定): 微分方程.

4. 应用

功(环流量): (有向, ,)

五. 第二类曲面积分:

1. 定义:, 或(其中含侧)

2. 计算:

(1)定向投影(单项): , 其中(特别:水平面);

注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层):

(3)化第一类(不投影):

3.公式及其应用:

(1)散度计算:

(2)公式:封闭外侧,内无奇点

(3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点)

4. 通量与积分:

(有向, ,)

六: 第二类曲线积分(2):

1. 参数式曲线: 直接计算(代入)

注(1)当时, 可任选路径; (2)功(环流量):

2. Stokes公式: (要求:为交面式(有向), 所张曲面含侧)

(1)旋度计算:

(2)交面式(一般含平面)封闭曲线:同侧法向或;

(3)Stokes公式(选择):

()化为; ()化为; ()化为

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数()，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：

4、两个重要极限：

经验公式：当，

例如：

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：连续但不可导。

6、导数的定义：

7、复合函数求导：

例如：

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：

9、由参数方程所确定的函数求导：若，则，其二阶导数：

10、微分的近似计算： 例如：计算

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：（x=0是函数可去间断点），（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：（x=0是函数的振荡间断点），（x=0是函数的无穷间断点）

28、有理函数的积分：

例如：

其中，前部分需要进行拆分，令

29、定积分的定义：

30、定积分的性质：

(1)当a=b时，；

(2)当a>b时，

(3)当f(x)是奇函数，

(4)当f(x)是偶函数，

(5)可加性：

31、变上限积分：

推广：

32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：

33、定积分的分部积分法： 例如：

34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：

(2)无界函数的反常积分：

35、平面图形的面积：

(1) (2)

36、旋转体的体积：

(1)绕x轴旋转， (2)绕y轴旋转，

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/680e7815e3bd960590c69ec3d5bbfd0a7856d54b.html