第六章
一次方程（组）及一次不等式（组）
一、一元一次方程
1. 方程有关概念
（1）方程
① 用字母x、y等表示所要求的未知的數量，这些字母称为未知数。
② 含有未知数的等式叫做方程。
③ 为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。
（2）方程的解
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（3）一元一次方程
① 在方程中，所含的未知数又称为元。
② 只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
（4）解一元一次方程
① 等式的性质
等式性质1：等式两边同加（或 同减）一个数（或 式子），结果仍相等。
等式性质2:等式两边同乘一个数，或除以一个不为零的数，结果仍相等。
② 解一元一次方程的基本思想
就是把原方程化为ax=b（a≠0）的形式。
③ 解一元一次方程一般步骤
A、去分母
一元一次方程的各项都乘所有分母的最小公倍数。
B、去括号
解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号。
C、移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
D、合并同类项
将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫做合并同类项。
E、系数化为1
两边同除以未知数的系数，得到方程的解。
2. 一元一次方程的应用
（1）用一元一次方程解决实际问题的基本过程word/media/image1.gif
（2）列方程解决实际问题的思想
①审题
分析题目中已知量有哪些，所求问题有哪些，明确个数量之间的关系。
②设x
用x来表示题目中的一个未知数，往往是题目所求的量，但有时会出于题目需要或者计算难度而设简介的未知量为x。
③列方程
根据题目中的等量关系列出方程。
④求解
解列出的方程，求未知数。
⑤检验
（若所设的并非题目所求问题，还应先根据未知数求出题目所求的量）。
检验方程的解是否符合问题的实际意义（如求面积、长度等答案不应该为负数。）
⑥作答
写出答语。
3. 常见列方程解应用题的几种类型
（1）和、差、倍、分
增长量=原有量×增长率；
现有量=原有量+增长量；
现有量=原有量-降低量。
（2）体积变化问题
面积、周长、体积计算公式
（3）行程问题
① 相向问题
相遇：两人走的路程和=两地距离
未遇：两人走的路程和=两地距离-两人相距
② 追及问题
同地不同时：前者走的路程=追着走的路程
同时不同地：前者走得路程+两地相距距离=追着走的路程
③ 航行问题
路程=速度×时间
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
④ 劳动力调配问题
从甲处和乙处人数间的关系去寻找等量关系。
⑤ 工程问题
把总工作量看作单位“1”，工作量=工作效率×工作时间
各部分工作之和=1
⑥ 比例分配问题
甲：乙：丙=a：b：c
全部数量=各种成分的数量之和（设一份为x）
⑦ 利润问题
利润=售价-进价（成本）
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⑧ 储蓄问题
利息=本金×利率×期数
本金和=本金+利息
⑨ 数字问题
抓住数字间的新数、原数之间的关系。（常设简介的未知数。）
二、二元一次方程
1. 二元一次方程有关概念
（1）二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
（2）二元一次方程的解
①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
②二元一次方程的解有无数个。
2. 二元一次方程组
（1）方程组
① 由几个方程，组成的一组方程，叫做方程组。
② 含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程。像这样的方程组叫做二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解
① 两个二元一次方程的共解，叫做二元一次方程组的解。
② 解二元一次方程组的基本思想
消元思想：将未知数的个数由多化少，逐一解出的思想。
③ 解二元一次方程组
A、代入法
把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
B、加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把两个方程的两边分别相加或者相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
（3）二元一次方程组的应用
将未知量当做已知，已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
① 方程两边需要时同类量。
② 同类量的单位要统一。
③ 方程两边的数值要相等。
（4）三元一次方程组及其应用
① 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程。
② 这样的方程有三个，这样的方程叫做三元一次方程组
③ 三个三元一次方程的共解，叫做三元一次方程组的解
④ 三元一次方程组的解法：代入法和加减法
三、不等式
1. 不等式有关概念
（1）不等式
用符号“＞、＜、≥、≤”表示的关系式，叫做不等式。
（2）不等式的性质
① 不等式的性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
② 不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③ 不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（3）不等式的解
在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
（4）不等式的解集
① 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
② 用数轴表示不等式的解集
规律：大于向左，小于向右，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。
③ 不等式的解指满足这个不等式的未知数的某个值，不扽时的解集指满足这个不等式的所有的值。
2. 一元一次不等式
（1）一元一次不等式有关概念
① 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
② 解一元一次不等式的步骤：
A、去分母
B、去括号
C、移项
D、合并同类项
E、将未知项的系数化为1
（2）一元一次不等式组
① 一般的，把几个关于同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。
② 几个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式组。
③一元一次不等式组的解集的数轴表示
③ 一元一次不等式组的解法
A、求分解，分别解不等式组中每一个不等式，求出他们的解集。
B、画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并确定其公共部分。
C、写组解，将所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
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