勾股定理知识点 对应类型1

勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

例 在中，、、分别是A、B、C的对边，已知：a=13, b=12, c=5. word/media/image7_1.png

是什么三角形？

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）利用勾股定理，作出长为的线段

类型四：利用勾股定理作长为的线段

【变式】在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

5、作长为、的线段。

命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

原命题：例如：同位角相等，两直线平行

逆命题：例如：两直线平行，同位角相等

性质：

原命题为真，它的逆命题不一定为真

如：原命题：全等三角形的对应角相等。 真

逆命题：对应角相等的两个三角形全等。 假

练习：下列各命题的逆命题成立的是（ ）

A． 全等三角形的对应角相等

B． 如果两个数相等，那么他们的绝对值相等

C． 两直线平行，同位角相等

D． 如果两个角都是45°，那么这两个角相等

勾股定理：

（一）结合三角形：

1.以4,5,x为边组成直角三角形,则x应满足( )

A. B.word/media/image15_1.png C.word/media/image16_1.png D.

2、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )

A．1.5，2，3 B. 7，24，25

C．6，8，10 D. 3，4，5

3.3个正方形面积如图(3)，正方形A的面积为( )

A. 6 B. 36 C. 64 D. 8

22. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形是____三角形；若此三角形的三边为a、b、c，则此三角形的三边的关系是__________

4.在ABC中，若=（+）（-），则ABC是 三角形，且

5.已知则以、、为边的三角形是

6、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

7.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

（三）求边长：

1.在Rword/media/image7_1.png中，word/media/image24_1.png、word/media/image25_1.png、word/media/image26_1.png分别是word/media/image27_1.pngA、word/media/image27_1.pngB、word/media/image27_1.pngC的对边，已知： C=， =40， =9，求；

2.如图所示，在四边形ABCD中， BAD=， DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

（五）方向问题：

1.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

（六）利用三角形面积：

已知：如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90°，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________

（2）word/media/image30_1.png、实际应用：

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　

word/media/image35_1.png

分析：根据题意建立数学模型，如图， ， ，过点作，垂足为，则， 。在中，由勾股定理得

答案：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7word/media/image48_1.png（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4word/media/image49_1.png，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

3. 爬行距离最短问题：

1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？

2. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）

A. B. C. D.

word/media/image57_1.png

（8）折叠问题：

1. 如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，

将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，

CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

课后练习：

1. 已知：在ABC中，三条边长分别为、、，

=， =2， =（>1）

试说明： C=。

2. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

word/media/image63_1.png

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，3.如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

word/media/image64_1.png

4.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

5.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

6.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6

（1）△ACD是什么三角形？为什么？

（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。

word/media/image67_1.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/641c29c4f424ccbff121dd36a32d7375a417c637.html