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2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学(文)试题(解析版)-

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2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学试题


一、选择题
1．已知集合A1,0,1,B{x|x1}，则AB（ ）
2A. B. 0 C. 1,1 D. 1,0,1
【答案】B 【解析】B{x|1x1} ，那么AB0，故选B.
1，则z的虚部为（ ） 1i1111A. i B. i C. D.
22222．已知复数z【答案】D 【解析】z11i1i1 ，虚部是，故选D. 1i1i1i223．已知向量a1,1,bx,2，且ab，则ab的值为（ ） A. 2 B. 7 C. 22 D. 10
【答案】D 【解析】abab0，即x20 ，解得x2， ab3,1 ，那么ab321210，故选D.
4．命题“xR,xx10”的否定是（ ） A. xR,xx10 B. xR,xx10
22C. x0R,x0x010 D. x0R,x0x010
222【答案】C 2【解析】全称命题的否定“x0R,xx10”，故选C.
5．已知等差数列an中， a111,a31，则an的前n项和Sn的最大值是（ ） A. 15 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】C 【解析】da5a13 ，所以通项公式ana1n1d3n14，当51143n01114 ，解得 即n4 ，即前4项和最大， n{{an1033113n0第 1 页 共 15 页
an0
43326，故选C.
26．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k（ ） S4411
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】k1进入循环， S5,T33， k2 ，此时TS否，第二次进入循环， S15,T3312 ， k3 ， TS否，第三次进入循环，
21S155330,T123349， k4 TS是，输出k4 ，故选C.
7．RAND0,1表示生成一个在0,1内的随机数（实数），若xRAND0,1,yRAND0,1，则x2y21的概率为（ ）
A. B. 1 C. D. 1 4488【答案】A 【解析】此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值，
P4 ，故选A.
14
8．已知点M是抛物线C:y2px(p0上一点， F为C的焦点， MF的中2点坐标是2,2，则p的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 第 2 页 共 15 页

【解析】Fppp,0 ，那么M4,4 在抛物线上，即162p4
，即222p28p160 ，解得p4 ，故选D.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. 1681 B. 21 C. 821 D. 161 33【答案】B 【解析】几何体分上下两部分，下部分是圆锥，底面半径是2，高是4，上部分是正四棱锥，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高是2，所以体积11168V224222，故选B.
333310．已知函数fxlg14x22x1，则f3f3（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】fxlg14x22x1 ，
fxfxlg14x22xlg14x22x2lg14x24x222，所以f3f32，故选D. 11．已知函数fxsin2x，将其图像向右平移(0个单位后得到的3函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 12632【答案】B 【解析】向右平移(0个单位后，得到函数ysin2x2，当x0时， 332kkZ，即kkZ，当k0时， min，故选B. 626【点睛】本题考查了三角函数的图象变换和三角函数的性质，总体难度不大，三角函数第 3 页 共 15 页

图象变换分先伸缩后平移，和先平移后伸缩，若ysin2x向右平移(0个3单位，得到的函数解析式是ysin2x3，若ysinx的横坐标缩短3到原来的1倍，得到的函数解析式是ysin2x，一定准确掌握两种变换规律.
32设12．a,b,c的中位数，abbcca0,Ma,b,c{a,b,c的众数，abbcca0,若fxM2x,x2,47.5x(x0，则fx的最小值是（ ）
A. 115 B. C. 1 D. 424【答案】A 【解析】如图，画出三个函数的图象，根据条件fx的图象是红色表示的曲线，点Cyx2111是函数的最低点，联立{ ，解得x8（舍）或x，此时y，24y47.5x2故选A.
2
【点睛】本题考查学生的作图能力和综合能力，此类问题的基本解法是数形结合法，即通过画出函数的图象，观察交点情况，得出结论.表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，其解题的关键是正确地画出分段函数的图像找到函数的最低点，就是函数的最小值.. 二、填空题
第 4 页 共 15 页

xy20,14．设x、y满足约束条件{xy20,则z2x3y的最小值是__________．
y2,【答案】4
【解析】如图，画出可行域， y小值zmin2204 .
2zx， 当目标函数过点A2,0时，函数取得最33
15．设数列an的前n项和为Sn，若Sn,Sn1,Sn1n2成等差数列，且a22，则a4__________．
【答案】8
【解析】2Sn1SnSn1n2 ，即SnSn1Sn1Sn1n2 ， ananan1an12ann2，所以数列从第二项起是公比为-2的等比数列，a4a2q2228 .
x2y216．已知抛物线y43x的准线与双曲线221(a0,b0相交于A,B两ab22点，双曲线的一条渐近线方程是y2x，点F是抛物线的焦点，且FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是__________．
y21 【答案】x22【解析】准线方程x3，与双曲线相交，得到交点坐标，设y0 ，那么A3,y,B3,y，焦点和准线间的距离是23，又因为FAB是等边三角形，3413a2b223，所以y2，即A3,2，那么{所以2y，解得， 2b2a第 5 页 共 15 页

y2a1,b2 ，所以双曲线的标准方程是x1.
2222【点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及其几何性质.本题中由渐近线方程，确定a,b 的关系，再由等边三角形的性质 ，确定交点坐标，从而得到又一组a,b 的关系，.
本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.
17．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点， BC62，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为__________．
【答案】18
【解析】连结PO,截面与PO垂直时，截面面积最小，因为截面圆的半径r R2d2，r最小，即d最大， d表示球心到截面的距离，而球心到截面距离的最大值就是PO，

BC62， O'C26， O'P6，所以O'A622622243，
231ROA4333， OO'433，那么OP44所以r363,
ROP223323232 ，所以截面圆的面积的最小值是Sr218.
【点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质：平面截球得到圆，正确理解球心距公式，得到截面的最大时的情形，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等，立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．

三、解答题
第 6 页 共 15 页

x2y213．已知点A,B是椭圆C:221(ab0的左、右顶点， F为左焦点，ab点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MNBP于点N.
（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；
（2）若直线MN过焦点F， AFFBR，求实数的值.
【答案】（1）见解析;（2）1.
3【解析】试题分析：（1）设Px0,y0，利用点在椭圆上的条件，化简kAPkBP，得到定值；（2）设直线AP,BP的斜率分别是k1,k2 ，并且表示直线AP，以及求出交点M的坐标，根据MNBP，表示直线MN的斜率，根据M,N,F三点共线，表示kMFkMN，得到a,c的齐次方程，求c的值，并且代入求的值.
a试题解析：（1）证明：设P(x0,y0x0a，由已知Aa,0,Ba,0，
∴kAPkBPy0y0y02.① 22x0ax0ax0ax02y02∵点P在椭圆上，∴221.②
abb22x02a22y0b2a22（定值）. x0a2x02a2a由①②得kAPkBPb2∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值2.
a（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，由已知Fc,0， 直线AP的方程为yk1(xa）， 直线l:xa，则Ma,2ak1. ∵MNBP，∴kMNk21.
b2a2由（1）知k1k22，故kMN2k1，
ab又F、N、M三点共线，得kMFkMN，
第 7 页 共 15 页

2ak1a22k1，得2b2aac.
即acb∵b2a2c2，∴2a2c2a2ac,2c2aca20，
c1ccc210，解得或1（舍去）.
a2aaa∴a2c.
由已知AFFB，得ac,0ac,0， 将a2c代入，得c,03c,0，故

18．在ABC中， D为BC边上一点， ADBD， AC4， BC5.
21.
3
（1）若C60，求ABC外接圆半径R的值； （2）设CABB，若tan15，求ABC的面积.
7【答案】（1）R7;（2）1515.
8【解析】试题分析：（1）ABC内，根据余弦定理求AB，再根据正弦定理AB2R，sinC求三角形外接圆的半径；（2）因为ADBD， BBAD，那么根据已知条件可知CAD，先求cos，再设CDx,AD5x ，在ACD内根据余弦定理求x ，再根据正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式表示为1SACCDsinC.
2试题解析：（1）由余弦定理，得AB2BC2AC22BCACcos6021，
解得AB21. 由正弦定理得，
AB212R,R7. sinCsin60第 8 页 共 15 页

（2）设CDx，则BD5x,AD5x，

∵ADBD，∴BDAB.
∴CADCABDABCABB. ∵tan157，∴0,cos. 728AD2AC2CD2∴cosCADcos，
2ADAC5x即242x2245x7，解得x2.
8∴BDAD3.
∵3315ADCD，∴sinCsin.
216sinCsinCAD113151515ACBCsinC45. 22168∴SABC19．某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110~120的学生数有14人.
（1）求总人数N和分数在120~125的人数n；
（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？ （3）现在从比分数在115~120名学生（男女生比例为1:2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率.
14【答案】（1）4;（2）107.5， 110;（3）P.
15【解析】试题分析：（1）根据频率分布图求分数在110~120的频率0.35，根据公式总人数N频率=频数，再计算分数在120~125的频率，再根据总人数求分数在第 9 页 共 15 页


（2）众数是最高的小矩形的底边的中点值，中位数是中位数两边的120~125的人数；面积分别是0.5；（3）首先计算分数在115~120的学生有6人，其中男生2人，女生4人，给这6人编号，列举所有任选2人的基本事件的个数，以及其中至多有1名男生的基本事件的个数，并求其概率.
试题解析：（1）分数在110~120内的学生的频率为P10.040.0350.35，
1440.
0.35分数在120~125内的学生的频率为： 所以该班总人数为NP210.010.040.050.040.030.0150.10，
分数在120~125内的人数为n400.104.
（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，

105110107.5.
2设中位数为a，∵0.0150.0450.0550.50，∴a110. ∴众数和中位数分别是107.5， 110.
即为（3）由题意分数在115~120内有学生400.0356名，其中男生有2名. 设女生为A1,A2,A3,A4，男生为B1,B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：
A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,A4,
A2,B1,A2,B2,A3,A4,A3,B1,A3,B2,A3,B1,A4,B1,A3,B1,A4,B2,A3,B1,B1,B2,
共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，
14∴所求的概率为P.
1520．已知三棱锥PABC中， ACBC， ACBC2， PAPBBC3， O是AB中点， E是PB中点.
第 10 页 共 15 页


（1）证明：平面PAB平面ABC； （2）求点B到平面OEC的距离.
【答案】（1）见解析;（2）14.
3【解析】试题分析：（1）连结PO，根据勾股定理可证明POOC，以及根据等腰三角形证明POAB，所有证明了PO平面ABC，也即证明了面面垂直；（2）根据等体积转化VEOBCVBOEC，求点B到平面OEC的距离.
试题解析：（1）证明：连结PO，在PAB中， PAPB， O是AB中点，

∴POAB，
又∵ACBC2， ACBC，∴AB22,OBOC2. ∵PAPBBC3，∴PO7， PC2PO2OC2，
∴POOC.
又ABOCO， AB平面ABC， OC平面ABC，
∴PO平面ABC，∵PO平面PAB，∴平面PAB平面ABC.
3（2）∵OE是PAB的中位线，∴OE.
2∵O是AB中点， ACBC，∴OCAB.
又平面PAB平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC平面PAB， ∵OE平面PAB，∴OCOE.
设点B到平面OEC的距离为d，则VBOECVEOBC，
第 11 页 共 15 页

111∴SOECdSOBCOP， 332111SOBCOPOBOCOP1422. d21SOEC3OEOC2【点睛】本题考查了立体几何中垂直的证明，以及等体积转化法求点到面的距离，垂直关系的证明是线面关系的重点也是难点，一般证明线线垂直，转化为证明线面垂直，或是转化为相交直线后，可根据三边证明满足勾股定理；若要证明线面垂直，可根据判断定理证明，即线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直；若要证明面面垂直，则根据判断定理，转化为证明线面垂直，总之，在证明垂直关系时，“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 21．已知函数fx121xax2lnx， gxx2kx2xlnxk,kZ. 22（1）当a3时，求fx的单调区间；
（2）当a1时，若对任意x1，都有gxfx成立，求k的最大值.
【答案】（1）fx的单调递增区间为0,1， 2,，单调递减区间为1,2;（2）3.
【解析】试题分析：（1）当a3时，代入函数，求fxx1x2x (x0 ，
（2）当gxfx成立，fx0是函数的增区间， fx0是函数的减区间；整理为k最大值.
试题解析：（1）解：由题意可知函数fx的定义域为xx0.
xlnxxxlnxx ，设Qx ，利用导数求函数的最小值，求整数k的x1x1当a3时， fx12x3x2lnx，
22x23x2x1x2fxx3. xxx①当x0,1或x2,时， fx0， fx单调递增. ②当x1,2时， fx0， fx单调递减.
综上， fx的单调递增区间为0,1， 2,，单调递减区间为1,2. （2）由gxfx，得121xkx2xlnxkx2x2lnx， 22整理得kx1xlnxx，
第 12 页 共 15 页

∵x1，∴k令Qxxlnxx. x1xlnxxxlnx2，则Qx.
2x1x110.
x令hxxlnx2，∵x1，∴hx1∴hx在1,上递增， h31ln30,h42ln40， ∴hx存在唯一的零点x03,4.
∴hx0x0lnx020，得lnx0x02. 当x1,x0时， hxhx00,Qx0， ∴Qx在1,x0上递减； 当xx0,时， Qx0， ∴Qx在x0,上递增. ∴Qx要使kminQx0x0lnx0x0x01x02x0，
x01x01xlnxx对任意x1恒成立，只需kQxminx0. x1又3x04，且kZ，∴k的最大值为3.
【点睛】本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，分两步，第一步，利用导数求函数的单调区间，是一道比较常规的问题，第二步参变分离后，利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值求参数取值范围，这一步涉及求二次导数，根据二次导数的恒成立，确定一次导数单调的，再根据零点存在性定理，得到函数的极值点的范围，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
x2t,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）.以原点O为y4t,极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos.直线l交曲线C于A,B两点.
（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为2,4，求点P到A,B两点的距离之积.
【答案】（1）cossin20,y2x;（2）40.
【解析】试题分析：（1）先写出直线l的普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式转化为极坐标方程；曲线C两边同时乘以，转化为直角坐标方程；（2）直线的参第 13 页 共 15 页
2
数方程代入曲线的直角坐标方程，得到t102t400 ，而PAPBt1t2 求解. 试题解析：（1）由直线l的参数方程为{2x2t,y4t,（t为参数）得l的普通方程为xy20.
∴直线l的极坐标方程为cossin20. 曲线C的直角坐标方程为y22x.
（2）∵直线l： xy20经过点P2,4，
2x2t,2∴直线l的参数方程为{（T为参数）.
2y4t,22x2t,2将直线l的参数方程为{代入y22x，化简得
2y4t,2t2102t400，∴PAPBt1t240.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数fx2x12x1. （1）求证： fx的最小值等于2； （2）若对任意实数a和b， 2aba围.
【答案】（1）见解析;（2）1abfx0，求实数x的取值范211,. 22【解析】试题分析：（1）根据含绝对值三角不等式（2）将不等式整理为2x12x12x12x12 ，证明结论；fx2aba2aba ，转化为求的最小值，利用含绝对值三角不等式求11abab22解.
试题解析：（1）证明：∵2x12x12x112x2x112x2，∴fx2.
第 14 页 共 15 页

当且仅当2x112x0时“=”成立，即当且仅当11x时， 22fx2.
∴fx的最小值等于2.
（2）解：当ab0即ab时， 2aba1abfx0可转化为22b0fx0，
即2b0成立，∴xR. 当ab0时，
∵2aba2aba2abaab，
当且仅当2aba0时“=”成立，即当且仅当2aba0时“=”成立， ∴2abaab2abaab1，且当2aba0时，
2abaab1，
∴的最小值等于1，
2aba11∵2abaabfx0 fx，
2ab2∴1fx1，即fx2.
2由（1）知fx2，∴fx2. 由（1）知当且仅当11x时， fx2. 2211综上所述， x的取值范围是,.
22
第 15 页 共 15 页

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5fc5a23b9c3143323968011ca300a6c30d22f1d3.html

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