中国教育学会中学数学教学专业委“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛员会试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛

试题及参考答案d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1．方程组ab67972f90490bfa8300cf0a8e4fe838.png的解的个数为（ ）．

（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4

答：（A）．

解：若9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png≥0，则0e8ce3d8f6da6fbaa943e001f34c4ec2.png于是39e0c861f225a4ae55d59a51399f0a70.png，显然不可能．

若97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png，则 b643c17ee00bf72445c3c02d74b14729.png

于是ea3844187a25909b5f7291a35c516712.png，解得172ee23059e8a0281a6a0fa3ea17dde7.png，进而求得a8cadbbb54279c78ce19f85632fa0327.png．

所以，原方程组的解为f2b8063d2318d54edc122662f107695b.png只有1个解．

故选（A）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20

答：（B）．

解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4

4 3，4，5，6 3，2，1，0 4

3 4，5，6，7 3，2，1，0 4

2 5，6，7，8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B）．

3．已知△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png为锐角三角形，⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径与△8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png的外接圆的半径相等，则⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png一定经过△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的（ ）．

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

答：（B）．

解： 如图，连接BE，因为△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png为锐角三角形，所以002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png，0c634527813f4a8d296ff467339959db.png均为锐角．又因为⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径与△8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png的外接圆的半径相等，且3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png为两圆的公共弦，所以71df205135ec155a1add1f59a33e8372.png．于是，40fbbf2b211da467094c4f0a483433bf.png．

若△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的外心为48f3e78fb1319ea1c2706c6dac1e9b9a.png，则28aa2c8b7688f40b78d3c8af57c66d5e.png，所以，⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png一定过△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的外心．

故选（B）．

4．已知三个关于x的一元二次方程

0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png，37cbdbf22c0ce3bab41335647e68893e.png，eb25918b0c1f04d99f9495fffdfde6f3.png

恰有一个公共实数根，则11d8443917e8022d34dbd0755847b570.png的值为（ ）．

（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3

答：（D）．

解：设0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png是它们的一个公共实数根，则

36e39154630a61336f266b007f67ba9a.png，8c2bc7a8dbce0393d853512019aad1b1.png，d20fac6a3b66c342816ab934bbda8654.png．

把上面三个式子相加，并整理得

bf96e3a56aa41e650775f4519fe3f1fb.png．

因为a7ef7ff09904276e1da244e11caab18d.png，所以6aed5ff1754de1568070bc83d277fcee.png．

于是

aa19f69dd8a218a1b2641979099b36fc.png

86463e85dfa61bb340bb39b012b76750.png．

故选（D）．

5．方程ec7aa2ca69a755c5777eb34b618dbe17.png的整数解（x，y）的个数是（ ）．

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多

答：（A）．

解：原方程可化为

1a950d0bf6b58e863c19f2881249b4b9.png，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形ABC中，52f4c087296260b9cf32142373cb45e1.png，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而

e5f342466ca5f720cfd2154596ee078a.png．

因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图, 点A，C都在函数53ed91ad85825993b1d13c44fd4d0dd2.png的图象上，点B，D都在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．

答：（c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cb.png，0）．

解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝0269e75308115b1f55a52560f80989b0.png，CF＝363107c5f95d548fd77b6e4bdfcf1ec9.png，所以，点A，C的坐标为

（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，0269e75308115b1f55a52560f80989b0.png），（20cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＋b，363107c5f95d548fd77b6e4bdfcf1ec9.png），

所以 9ee1fd79fd77500e968c2fca5e87959c.png

解得

d03c7f08e4e80e4b66c71ced66e040ac.png

因此，点D的坐标为（c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cb.png，0）．

8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数61e2cbcaaff1d7609405becdcb9ad026.png的图象与线段AB恰有一个交点，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是 ．

答：768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png≤c99f2073c78996192b882c39339ce566.png，或者1cac8bee00f1f91c958e95becb0a579b.png．

解：分两种情况：

（Ⅰ）因为二次函数61e2cbcaaff1d7609405becdcb9ad026.png的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

f4373d037b4ee487796e02fa44bfcb63.png，

得48517ebc012f0c0547cca99826eb355f.png．

由0bf51f7014133fc7990bb46a067046c4.png，得ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png，此时6366c1b5884f645a527ca215c47e6327.png，3fec3bb7d5a5a6be9bd113ae7d765a1d.png，符合题意；

由7ebf1ad78af454b9b5d6b09d0b27e3b4.png，得b1a2ab2243604979b5a8bbe46bbb5fd1.png，此时3b20a5360a23521beb2d9c9fba2c36ba.png，0fd2c4592c9a96df5c03e0f1122877f2.png，不符合题意．

（Ⅱ）令86e0436268d5478d22d048ed3ff2f765.png，由判别式1afea4af73213d645ca37914acb12a91.png，得d36f46c1aa40a209557d5167bd15ef42.png．

当7e7dce150a0141f184266798872aaeba.png时，5f84d354ff21da1844dac4d457b963cd.png，不合题意；当1cac8bee00f1f91c958e95becb0a579b.png时，1ea18147571f7b193ff7ba1aa472a21e.png，符合题意．

综上所述，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png≤c99f2073c78996192b882c39339ce566.png，或者1cac8bee00f1f91c958e95becb0a579b.png．

9．如图，049d50ef380afa011c71e25925831d92.png，则n＝ ．

答：6．

解：如图，设AF与BG相交于点Q，则

7d69c539f5ba1e90afd8b25b2160d577.png，

于是

2ef35634dbdfa09a70ee091d54a524ea.png

001e930aa03251f21f099b41c521b905.png

e7e4ab3865972c806fcbc447e3f6d081.png

3f15a2301a41f7974fcc517994548ec7.png．

所以，n＝6．

10．已知对于任意正整数n，都有

abcecd422e28231e0ca9fe5bd43013ef.png，

则 be249cb2da5d7ab690607b43c0a3ab96.png ．

答：9b5e34d6318ebe7cd0e91700f47023ed.png．

解：当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png≥2时，有

9dc5af346336a0ba90c7b1241d8b1491.png，

3a5f106bd157f2928542b382cf562378.png，

两式相减，得 de62535d9a98395116c5cfe1e5b1ca6c.png，

所以 41ded9f9808826d37f2b6c25e2d5269e.png d197dc35e946a57e06b47a52614b33cd.png

因此 6e713a3e2f55180d5a01307c6a06acb2.png

3b94636c5a23bf1eb78179b1d30a9eee.png

7e9ffc0913d832ede67ada743ee410c3.png．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线5d80eeafdb4cea4e28c28a019ed618f8.png上的一个动点．

（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线201178ce477aab21167b33679e8a029b.png的位置关系；

（2）设直线PM与抛物线5d80eeafdb4cea4e28c28a019ed618f8.png的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：27a33bc82b7c50a07a8cd2778d3aef44.png．

解：（1）设点P的坐标为444a0a886ac8fac624de819daa6eb1bd.png，则

PM＝ed36ec8850c3440837ffe399f19d21e0.png;

又因为点P到直线201178ce477aab21167b33679e8a029b.png的距离为e46730810324a921f1168cbcfac9fcf5.png，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线201178ce477aab21167b33679e8a029b.png相切．

…………5分

（2）如图，分别过点P，Q作直线201178ce477aab21167b33679e8a029b.png的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线201178ce477aab21167b33679e8a029b.png，所以，PH∥MN∥QR，于是

a5fadf2de8ad4e32e2a1425c00e99969.png，

所以 e67c59a23078e4967a2b4397aa84dbad.png，

因此，Rt△c8981bd6885d23ee1770fff7ccf0918e.png∽Rt△9c2bbed1a03f2aec7159d356a7a2b446.png．

于是059026cf68f28a68b8120207e4ab5d60.png，从而27a33bc82b7c50a07a8cd2778d3aef44.png．

…………15分

12．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程c5b621d8c44a3d1bc0436a1d7cef448c.png是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≤b，且方程的两个整数根为351f486574d5bc5428c60a6544b437eb.png(d9cf627d2f7de6974c83427d707d4c0a.png≤8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png)，则有

3c8ea50f7874a88cd9ceee48fab9a5a5.png

所以 e346f0a3850e19a15ddb71eacd54384c.png，

5fb441e16169993dcedf4dcb2e32ba05.png.

…………5分

因为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，35e39cf94674fe4bcf2bba5b0a5969a5.png≥0,7eb6e94a6e1bfc1ebde2ee771016896b.png≥0，459aeb73615b50f036b14e4e7747f785.png≥1,9daceef29b0c06261ba8dc88f97c292e.png≥1，所以

6229330601fecdf281449fc3af1d63a2.png 或 6477bd5a88971ee7bb8b29c85d26ee2e.png

（1）当0d678c255401ceb2c826f32b147c0c62.png时，由于a,b都是正整数，且0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≤b，可得

a＝1，b＝3，

此时，一元二次方程为67c4036a2c6253fbcf1e8e8c8cf814e3.png，它的两个根为6366c1b5884f645a527ca215c47e6327.png，5fa8f511a4b9215b836df0b7d743a370.png．

（2）当b7844cb811a9fb5d6052c25938b5e010.png时，可得

a＝1，b＝1，

此时，一元二次方程为452f7f8d1c32fe62f1038d215a2f18fb.png，它无整数解.

综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为6366c1b5884f645a527ca215c47e6327.png，5fa8f511a4b9215b836df0b7d743a370.png． ……………15分

13．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为e97844b7caa5578d2bc9c7637c0679cf.png，则CE∥DF．

因为AB是⊙O的直径，所以

a722b7a83c1f710110d997faeba953c4.png．

在Rt△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png和Rt△75b85826a15607f238debae369a5571c.png中，由射影定理得

64626aeea53e44f8d12e79f67fcfa35c.png，

0195dda9da15c4506815f3c623b0a980.png．

……………5分

两式相减可得

de177c1ed6aac6000b671797d25f1316.png，

又 37aafd0f9108f34de3b351b2d5134cac.png，

于是有 6e04e1f7f7388f7b3423dafb57d652a6.png，

即 be3879d7436efc051038e4bd7e67403d.png，

所以6fb369eb4620fe87c00b48cc1744a6f9.png，也就是说，点P是线段EF的中点．

因此，MP是直角梯形30dfef4473d3731bb895f193e71781a2.png的中位线，于是有307a54fee5a39c4a10b071b58f9e3ce6.png，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

……………15分

14．（1）是否存在正整数m，n，使得68445ac99435aebda43b8926d48907a6.png？

（2）设8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png(8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得

9577af05df95cd04e5ebf67cab991906.png？

解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得68445ac99435aebda43b8926d48907a6.png，则

914751ffb031f8ffa63a6142bea1a9e0.png，

显然eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png，于是

4315f8ac8fd1d378be2c5d060f6393f5.png，

所以，b47e92a9d4e48ab174b636954e4dbb63.png不是平方数，矛盾． ……………5分

（2）当9d8980d95018cffda6b0d77684ba1523.png时，若存在正整数m，n，满足44b47c3ff265b89012bfb3ed3fb53aea.png，则

6ec99a2172039c21b040f6632bfabefa.png，

af9e5d66a7b03ee102cdbbf1dd987dbc.png，

7a0ab3c9243ec89aedbc8cb999393e81.png，

0d07a52695029af3fbfb7ca65bf96acb.png，

而6a6c8e5a3e4fb6a60e11f511440f74a1.png，故上式不可能成立．

………………10分

当8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png≥4时，若dc0ebeb4d0d1df797d2bb079bd84c075.png（t是不小于2的整数）为偶数，取

2ed39e05f0e1bc4848798fa6837d280a.png，

则 b55ef8788be295ca130a3b751b9b0c41.png，

259f9fee777915c8658dffe9410ef389.png，

因此这样的（m，n）满足条件．

若dc0ebeb4d0d1df797d2bb079bd84c075.png＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取

91cf0e56e55443692092d1bef308ea55.png，

则 05f5c997020f8dfd47081d594c8ec7d1.png，

366f086c5fe1ee6271c6b61d83b355eb.png，

因此这样的（m，n）满足条件．

综上所述，当9d8980d95018cffda6b0d77684ba1523.png时，答案是否定的；当8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png≥4时，答案是肯定的．

……………15分

注：当8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png≥4时，构造的例子不是唯一的．

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