积分不等式的证明方法及其应用

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Hlder不等式 Gronwall不等式 Young不等式

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数在上连续可微，且，求），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式.

我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

，都是积分不等式.

2积分不等式的证明方法

2.1 定义法

我们根据定积分的定义，把积分区间等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令，取极限即可.

例1设函数在区间上可积 .试证明有不等式.

证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式

.

设为区间的等分.由上述不等式,有.

令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式 .

例2 设在区间上连续，，，且，在上有定义，并有二阶导数，试证明：.

证 （利用积分和）将等分，记，，，

因为，所以为凸函数，所以

则有

令取极限，便得欲证明的积分不等式.

2.2 利用定积分的基本性质

例3 设在上二次连续可微，，试证：，其中.

证 将在处用泰勒公式展开，注意到，则

，的右端第一项在上的积分为0，故

，其中.

例4设函数在连续且递增，证明：对任意，有.

证1

,移项即得.

证2

或

但在闭区间上连续且递增，故，即

成立，原题获证.

2.3 利用重积分证明积分不等式

把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式.

例5 已知，在上连续，，为任意实数，求证：

（*）

证 （*）式左端

原式获证.

2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法

例6 设函数在上有连续二阶导数，，（），试证：.

证 因（），故在内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在内，与矛盾），不妨设（的情况类似可证），,因在上连续，故存在，使得，于是对任意有

下面我们来恰当地选取，得到所需的估计.注意到，应用Lagrange公式得，

；

.

令，则

因为，所以，获证.

2.5 构造变限积分的方法

对于一个积分不等式，可把常数变为变量构造辅助函数，再利用函数的性质来证明积分不等式.

例7 设在上可微，且当时，，，试证明：.

证1 问题在于证明

故令，因，故只要证明在内有.事实上，

令，故只要证明在内有，因，故只要证明在内有.事实上，

，

已知，（），故时，，所以，故.

证2 已知，（），故时，

所以问题在于证明（*）

令，

则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有

2.6 其它方法

证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.

3 几个重要积分不等式及其应用

本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用.

3.1 Schwarz不等式及其应用

3.1.1 Cauchy不等式

对任意个数恒有，其中等号当且仅当成比例时成立.

我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式.

3.1.2 定理1(Schwarz不等式)

,在区间上可积，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）.

证1 将等分，令，应用Cauchy不等式得

，则有

，令得

.

证2 利用定积分的性质易知，即

(1)当时，因为在区间上可积，所以在区间上也可积且非负，故有于，所以于，继而有于，所以有，命题得证，其中.

(2)当时，上面方程是关于的二次多项式不等式，因此，判别式：，即：

,命题得证.

证3 利用二重积分来证明Schwarz不等式.

即有，由此看出若在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）.

3.1.2 Schwarz不等式的应用

应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数.

例1 已知，在上连续，，为任意实数，求证：

（*）

证 （*）式左端第一项应用Schwarz不等式，得

同理

所以

例2 求证：,其中在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立,不同时为.

证

对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.

3.2 Hlder不等式及其应用

3.2.1 基本形式

设，为实数，且有，则

当（从而）时，

当（从而）时，

其中等号当且仅当成比例时成立.

3.2.2 Hlder不等式的积分形式

定理2 设，并使得所论的积分有意义，为共轭实数（即），则

当（从而）时，

当（从而）时，

若连续，则其中的等号当且仅当时成立.

证 当（从而）时，令.

因为，所以，

(1) 若，又，则，所以于，故

于，所以有于，故，原式得证.同理时，原式可证.

（2）若，，

令，，因为有（此式见本文第13页例8）,令，则得

所以，

.

当（从而）时，因，则

所以有.

在上述两种情况中，等号当且仅当时成立.

3.2.2 Hlder不等式的应用

例3 试证明：.

证 令，

于是

例5 设函数在上连续可微，且，求.　　

证 在Hlder不等式中取，则

故有

3.3 Gronwall不等式及其应用

3.3.1 Gronwall不等式

定理3 设为非负常数，为区间上的连续非负函数，且满足不等式，，则有，.

证1 当时，令，则在上恒正且可导，则

，则，

；

当时，，

，，则有

由的任意性知，，原式得证.

证2 令，

则，且在上可导，

对上式两边取积分得，

，原式得证.

3.3.2 Gronwall不等式的应用

下面我们来看一下Gronwall在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用.

例6 设积分方程在区间上存在连续解，且关于满足Lipschitz条件：，证明这个连续解是惟一的.

证 设此方程还有一连续解.现在取，构造皮卡逼近函数序列如下：

，，

则，

应用Gronwall不等式得，则有，即连续解是惟一的.

3.4 Young不等式及其应用

著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特点的Young不等式.

3.4.1 Young不等式

定理4 设递增，连续于，，，表示的反函数，则，其中等号当且仅当时成立.

该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情况，如下图所示，这时，，，其中表示图形的面积.

证 我们证明 ①

因为递增，连续于上，故递增，连续于上.故①式有意义.将等分，记分点为，相应的点为，（）构成上的一个分划：，因为在上连续，故在上一致连续.故时，对于分划来讲，有

，故

， ①式获证.

由①式可知，若，则中等号成立.

若，则由的连续性知，存在，使得，于是

时，只要把看作是的反函数，就可由的结论得到.

联系，，可知定理成立.

3.4.2 Young不等式的应用

例7 证明当时，不等式成立.

证 令，则单调递增且连续，

因，应用Young不等式可得

.

例8 设，，，试证：.

证 设，则单调递增且连续，

因，应用Young不等式可得，且等号当且仅当即时成立。原式获证.

4 积分不等式的应用

4.1 求含积分的数列或函数的极限

设收敛数列或是一个有关定积分的数列或函数，若它不容易算出来，此时我们就可以借助两个积分不等式来估计它，再应用数列或函数的夹逼原则即可以得出它的极限.

例1求（1）；（2）

解 （1）任意（不妨设）

因为，所以

故存在，使得时，

所以

故=0.

（2）因，所以=0.

例2 设严格递减，在上连续，，试证：任意，

都有.

证 因为严格递减，，所以

故对任意固定的有

所以.

4.2 估计积分

对于一个定积分，若它不易求出，而又要用.到它的一些性质时，我们往往用另外两个定积分来逼近它，或找一个接近它的定积分作为它的估计值.

例3估计下列各式

（1）；（2）；（3）

解 （1）因为在上有界，即，有，所以.

（2）因为在上是单调递减的，故，，即，所以.

（3）令，则时，，所以

（），故

下面我们来看下积分估计在某些例题中的应用.

例4．设在上连续，，试证：在内至少有两个零点.

证 若在内无零点，因连续，在内恒保持同号，则（或），则得到估计（或），这与已知条件矛盾.可见在内至少有一个零点.

若除外在内再无零点，则在与内分别保持不变号.若在此二区间符号相异，则在与内恒正（或恒负），则（或），但由已知条件

矛盾.若 在此二区间符号相同，则在与内恒正（或恒负），同样可推出矛盾.故在内至少有两个零点.

例5设在连续，，，，

求证：在的某一部分上.

证 由已知条件，对任意，恒有.

假设在处处都有.若能选取恰当的，由此得出估计，便找到了矛盾.事实上，取，有

证毕.

4.3 证明不等式

例6．证明不等式

证 考虑函数,.

易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有 ,注意到,就有.而

,

，

因此有.

取,.

在区间仿以上讨论, 有. 而

，，

.

综上所述 ,有不等式.

例7试证：.

证 由定积分定义有：

所以有.

4.4 一阶线性微分方程的存在惟一性定理

考察微分方程的初值问题：

(1)

设在上连续，且关于满足Lipschitz条件

则问题⑴有满足初始条件的惟一解.

证 问题(1)等价于积分方程的求解.取，使得.考虑连续函数空间，定义映射：，

显然，且

由于，故是压缩映射.由Banach压缩映射原理，有惟一不动点，使得

这个是连续可微的，它就是问题(1)的惟一解.但它仅限定义于上，重复利用Banach压缩映射原理，可将它延拓到整个数轴上去.

4.5 Volterra型线性积分方程解的存在惟一性

引理设是完备距离空间，，如果存在正整数，使得为压缩映射，则存在惟一不动点.

考察Volterra型线性积分方程： （2）

其中在区间上连续，而在正方形上连续，则对于任意，方程（2）恒有惟一连续解.

证 利用上述引理来证明结论成立.

令，

显然，任取且有

其中

归纳易知，一般地有

从而

由于级数对任都收敛，故可取一正数，使得

于是此可视为引理中的，所以为压缩映射，于是有惟一不动点，即方程（2）在有惟一解.

5 小结

本文将几种常见的证明积分不等式的方法列出，并不是就能解出所有的积分不等式问题，目的在于能举一反三，碰到相同的题型可以用文中所提到的方法，碰到没见过的题型应该仔细思考，认真分析，反复琢磨，以便能化为熟悉的类型而把题目解出来．另外，有些题可用多种方法求解，应认真分析各种方法的利弊，思索用最简单的方法来求解．

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/59d9d6c60c22590102029dda.html