高中数学人教A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何 测试题

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第三章空间向量与立体几何 测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若=a， =b， =c， 则（ ）

A．a +b－c B．a－b + c C．－a + b + c D．－a + b－c

2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与的夹角为（　　）

A.60°　　　　 B.90°　　　　 C.135°　　　　 D.45°

3. 下列命题中真命题的个数是（　　）.

①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线；

②若向量a,b,c共面,则它们所在的直线共面；

③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.

A.0　 　　　 B.1　 　　　 C.2　 　　　 D.3

4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于（ ）

A．90° B.60° C.45° D.30°

5. 已知平面word/media/image7_1.png的法向量是（2,3，-1），平面word/media/image8_1.png的法向量是（4，，-2），若，则word/media/image11_1.png的值是（ ）

A．word/media/image12_1.png B．6 C．word/media/image13_1.png D．word/media/image14_1.png

6.若向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1,2），a，b的夹角的余弦值为，则λ的值为（　　）

A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

7. 已知ABCD为平行四边形，且A（4,1,3），B（2，-5,1），C（3,7，-5），则顶点D的坐标（　　）

Ａ．（，4，-1） Ｂ．（2,4,1） Ｃ．（-2,14,1） Ｄ．（5,13，-3）

8. 直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则有可能使的是（ ）

A．a=（1,0,0），n=（-2,0,0） B．a=（1,3,5），n=（1,0,1）

C．a=（0,2,1），n=（-1,0,1） D．a=（1,-1,3），n=（0,3,1）

9. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是的中点，则的值为（ ）

A. B. C. D.

10. 已知正方体ABCD—EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（ ）

A． B． C． D．

11. .已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（　　）

A.60° B.90° C.45° D.以上都不对

12. 如图1，在等腰梯形ABCD中，M、N分别为AB，CD的中点，沿MN将MNCB折叠至MNC1B1，使它与MNDA成直二面角，已知AB=2CD=4MN，则下列等式不正确的是（ ）

A．·=0 B．·=0

C．·=0 D．·=0

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.）

13. 已知a=（1,2,3），b=（2，x，4），如果ab，则= .

14.已知向量.若与的夹角为，则实数 .

15. 在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则+--化简的结果为 .

16. 若a，b是直线，，是平面，a⊥，b⊥，向量a1在a上，向量b1在b上，a1=（1,1,1），b1=（-3，4,0），则，所成二面角中较小的一个的余弦值为 .

17. 如图2，P—ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中，则到平面PAD的距离为 .

18. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．如图3，在三棱柱ABC—A1B1C1中，分别是，上的点，且，.设，，.

⑴试用表示向量；

⑵若，，，求MN的长.

word/media/image68_1.png

20. 如图4,在四棱锥中,底面,平面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和左视图如图5所示.

⑴证明:平面；

⑵证明:∥平面.

21. 如图6，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点.

⑴求证：直线MN∥平面OCD；

⑵求点B到平面DMN的距离.

word/media/image80_1.png 22.如图7，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

23.如图8所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．

（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值，请说明理由；

（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；

（3）记满足（1）的条件下的Q点为Qn（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的点Qn有几个，试求二面角Qn﹣PA﹣Qn+1的大小．

24. 在如图9所示的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，word/media/image95_1.png//，，，．

⑴求与平面所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．

参考答案

一、选择题

1. D 2.B 3. A 4 .A 5.C 6. C 7. D 8. D 9. B 10. A 11. B 12. C

提示：

1. +=--+=－a + b－c.

2. 由于AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥C1B,从而与的夹角为90°.

3. ①中当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面即可,故②错误;③当b为零向量,a为非零向量时,λ不存在.

4. 以A为坐标原点，AB,AD,AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，且令AB=2，则B（2,0,0），O（1，0，1）,M（0，1，0）,P（2，2，z），故=（1,2，z-1），=（-2，1，0）,因为·word/media/image111_1.png=0，故异面直线OP与BM所成的角等于90°，故选A.

5. 因为，所以8+3+2=0.解得=word/media/image13_1.png，选C.

6. 根据题意，得=，解得=－2或，选C.

7. 设D（x，y，z），根据题意，得=,即（-2，-6，-2）=（3-x，7-y，-5-z），解得x=5，y=13，z=-3，故选D.

8. 在D中a=（1,-1,3），n=（0,3,1），因为a·n =0，故选D.

9. 以A为坐标原点，以AB,AD,AA1分别为x，y，z轴建立空间坐标系，且令AB=2，则M（0,0,1），N（2,0,1），C（2,2,0），D1（0,2,2），=（-2，-2,1），=（2，-2，-1），==-，故=，选B.

10. 如图1，过P作PM面ABCD于M，过M作MNAB于N，连结PN，则PN即为所求， 因为所以所以

11. 以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图2，由题意知,A1（1,0,2）,E（1,1,1）,D1（0,0,2）,A（1,0,0）,所以=（0,1,-1）, =（1,1,-1）, =（0,-1,-1）.设平面A1ED1的一个法向量为n=（x,y,z）,则⇒令z=1,得y=1,x=0, 所以n=（0,1,1）,cos<n, >= =-1.所以<n, >=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

12. 易知C1N⊥平面AMND，故A正确；假设B正确，即有⊥word/media/image130_1.png，又由A项可得AN⊥平面B1MNC1，这与AM⊥B1MNC1矛盾，则B不正确；对于C，连结MC1，由B1M=2C1N=2MN可得MC1⊥B1C1.又易知⊥，得B1C1⊥平面AMC1，故⊥，C也正确；由AM⊥平面B1MNC1得AM⊥B1C1，则D也正确.

二、填空题

13. 7 14. 15. 0 16. 17. 18.

提示：

13. 因为ab，所以ab，所以a·b=0，即2+2x+12=0，解得x=-7.

14. 提示：由数量积公式可得，所以k=

15. 延长DE交边BC于点F，则+=，--=-，故+--=0.

16. 由题意知，cos=|cos＜a1，b1＞|==.

17.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面PAD的法向量是，因为，所以，取得，因为，所以到平面PAD的距离.

18. 以A为坐标原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图3,设AB＝1，则AD＝AA1＝2，所以F（1,2,1），E（0,1,2），所以＝（1,1，－1），平面ABB1A1的一个法向量n＝（0,1,0），则cos〈n，〉＝＝，设EF与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝，cosθ＝.

三、解答题

19. 解：⑴

.

⑵

，

，.

20. 证明:⑴因为平面, ,建立如图4的空间直角坐标系. 在△中,易得,所以. 因为, 所以,.

由俯视图和左视图可得，，

word/media/image173_1.png所以,.

因为,所以.

又因为平面,所以,

所以平面.

⑵设平面的法向量为,则有

因为, ,

所以 取,得

因为,所以

因为平面, 所以直线∥平面.

21. 建立如图5的空间直角坐标系，则各点坐标为B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），

所以=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）.

⑴证明：设平面OCD的法向量n=（x，y，z），

由得

令y=1，得平面OCD的法向量n=（0，1，1），所以·n=2×0+1×1+（-1）×1=0. 所以⊥n .

又MN ⊄ 平面OCD， 所以MN∥平面OCD.

⑵设面DMN的法向量为n′=（x/，y/，z/），

由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得即

令x/=1，得平面DMN的法向量n′=（1，2，4）.

所以点B到平面DMN的距离d===. ..

22.解析：（1）证明：取的中点，连接

word/media/image208_1.png因为，，所以且.

因为平面平面，平面平面，所以平面

所以.

如右图所示，建立空间直角坐标系

则

所以

因为

所以

（2）由（1）得，所以

设为平面的一个法向量，则

，取，则 所以

又因为为平面的一个法向量，所以

所以二面角的余弦值为.

（3）由（1）（2）可得，为平面的一个法向量.

所以点到平面的距离.

23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），

设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）∵，

∴由PQ⊥QD得

∵x∈[0，2]，a2=x（2﹣x）∈（0，1]

∴在所给数据中，a可取和a=1两个值．

（2）由（1）知a=1，此时x=1，即Q为BC中点，

∴点Q的坐标为（1，1，0），从而，

又为平面ADP的一个法向量，

∴，

∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为．

（3）由（1）知，此时，即满足条件的点Q有两个，其坐标

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ1，PA⊥AQ2，

∴∠Q1AQ2就是二面角Q1﹣PA﹣Q2的平面角．

由，

得∠Q1AQ2=30°，∴二面角Q1﹣PA﹣Q2的大小为30°．

24. ⑴解：因为，，在△中，由余弦定理可得，所以．又因为， 所以平面．

因为平面，所以．

因为，所以平面．

word/media/image253_1.png 所以两两互相垂直，如图6的空间直角坐标系．在等腰梯形中，可得．

设，所以．

所以，，．

设平面的法向量为，则有

所以 取，得．

设与平面所成的角为，则，

所以与平面所成角的正弦值为．

（2）线段上不存在点，使平面平面．证明如下：

假设线段上存在点，设，所以．

设平面的法向量为，则有所以 取，得．

要使平面平面，只需，即，该方程无解．所以线段上不存在点，使平面平面．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/57106951bb0d4a7302768e9951e79b89690268f4.html