山西省晋城一中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷

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山西省晋城一中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）

A． C． ，则函数g（x）=的定义域是（）

A．

4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）

A． ﹣3 B． ﹣1 C． 1 D． 3

5．（5分）已知f（x）=2x+3，g（x）=4x﹣5，则使得f（h（x））=g（x）成立的h（x）=（）

A． 2x+3 B． 2x﹣11 C． 2x﹣4 D． 4x﹣5

6．（5分）设集合A={（0，1），（1，0）}，集合B={0，1，2}，则从A到B的映射共有（）

A． 3个 B． 6个 C． 8个 D． 9个

7．（5分）已知函数f（x）在区间 B． C． （1，2] D． （1，2）

12．（5分）已知集合，则A∩B等于（）

A． {x|﹣1≤x＜0} B． {x|0＜x≤1} C． {x|0≤x≤2} D． {x|0≤x≤1}

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）函数的定义域是．

14．（5分）函数g（x）=2x﹣的值域为．

15．（5分）函数f（x）=的单调递减区间为．

16．（5分）函数f（x）=a x2﹣（a+1）x+2在区间（﹣∞，1）上是减函数，那么实数a的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）用定义法证明函数f（x）=在区间（0，1）是减函数．

18．（12分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数a的值；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

19．（12分）设集合A=，集合B={x||2x﹣1|﹣a＜0}．

（1）当a=3时，求A∩B和A∪B；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

20．（12分）求函数f（x）=﹣x2+2x﹣3在区间上的最小值的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）=

（1）求不等式f（x）＞5的解集；

（2）若方程f（x）﹣=0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数y=x+有如下性质：如果常数k＞0，那么该函数在（0，）是减函数，在是增函数．

（1）已知f（x）=，利用上述性质，试求函数f（x）在x∈的值域和单调区间；

（2）由（1）中的函数f（x）和函数g（x）=x+a，若对任意的x∈，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

山西省晋城一中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）

A． C． =．

故选B．

点评： 本题考查集合的基本运算，函数的值域与函数的定义域的求法，考查集合的交集的求法．

2．（5分）下列函数f（x）与g（x）表示同一函数的是（）

A． f（x）=x0与g（x）=1 B． f（x）=x与g（x）=（）

C． f（x）= D． f（x）=，g（x）=x+1

考点： 判断两个函数是否为同一函数．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．

解答： 解：A．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同．

B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同．对应法则相同，所以表示为同一函数．

C．要使f（x）有意义，则，解得x≥0，要使函数g（x）有意义，则x2+x≥0，即x≥0或x≤﹣1，两个函数的定义域不相同．

D．函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同．

故选B．

点评： 本题的考点是判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．

3．（5分）若函数y=f（x）的定义域是，则函数g（x）=的定义域是（）

A．

考点： 函数的定义域及其求法．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由﹣1≤x2≤1，且x﹣1≠0联立求解x的取值集合即可得到答案．

解答： 解：∵函数y=f（x）的定义域是，

由，

解得：﹣1≤x＜1，

∴函数g（x）的定义域是：

又∵f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3

故选A

点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．

5．（5分）已知f（x）=2x+3，g（x）=4x﹣5，则使得f（h（x））=g（x）成立的h（x）=（）

A． 2x+3 B． 2x﹣11 C． 2x﹣4 D． 4x﹣5

考点： 函数解析式的求解及常用方法．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由f（x）=2x+3，可得f（h（x））=2h（x）+3，从而f（h（x））=g（x）化为2h（x）+3=4x﹣5，解出h（x）即可．

解答： 解：由f（x）=2x+3，得f（h（x））=2h（x）+3，

则f（h（x））=g（x）可化为2h（x）+3=4x﹣5，解得h（x）=2x﹣4，

故选C．

点评： 本题考查函数解析式的求解及常用方法，属基础题．

6．（5分）设集合A={（0，1），（1，0）}，集合B={0，1，2}，则从A到B的映射共有（）

A． 3个 B． 6个 C． 8个 D． 9个

考点： 映射．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意，集合A={（0，1），（1，0）}有2个元素，集合B={0，1，2}有3个元素，从而得到映射的个数．

解答： 解：∵集合A={（0，1），（1，0）}有2个元素，

集合B={0，1，2}有3个元素，

∴从A到B的映射共有32=9个元素．

故选D．

点评： 本题考查了映射的概念，属于基础题．

7．（5分）已知函数f（x）在区间

=f（9）=f

=f（13）=11．

故选B．

点评： 本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．

9．（5分）设集合，集合B={x|x2+（a+2）x+2a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围（）

A． a≥1 B． 1≤a≤2 C． a≥2 D． 1≤a＜2

考点： 集合的包含关系判断及应用．

专题： 计算题；分类讨论．

分析： 先解分式不等式求出集合A，利用十字分解法求出集合B，根据两个根的大小分类讨论，再根据子集的定义求出a的范围．

解答： 解：由题意，集合A={x|﹣1＜x＜3}，

集合B={x|（x+2）（x+a）＞0}

当﹣a＜﹣2，即a＞2时，B={x|x＜﹣a或x＞﹣2}，∵A⊆B，∴符合题意，∴a的取值范围为a＞2；

当﹣a=﹣2，即a=2时，B={x|x≠﹣2}，∵A⊆B，符合题意，∴a的取值范围为a=2；

当﹣a＞﹣2，即a＜2时，B={x|x＜﹣2或x＞﹣a}，∵A⊆B，∴﹣a≤﹣1，∴a的取值范围为1≤a＜2；

综上，a的取值范围为a≥1．

故选A．

点评： 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合的子集的相关运算，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

10．（5分）已知集合M={0，1，2}，N={x|x⊆M}，则M与N的关系正确的是（）

A． M∈N B． M⊆N C． N⊆M D． M=N

考点： 集合的包含关系判断及应用．

专题： 计算题；集合．

分析： 由题意，集合N是由M的子集构成的集合．

解答： 解：∵M={0，1，2}，N={x|x⊆M}，

∴集合N是由M的子集构成的集合，

∴M∈N，

故选A．

点评： 本题考查了集合的概念及元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题．

11．（5分）若函数在R上为增函数，则实数b的取值范围为（）

A． B． C． （1，2] D． （1，2）

考点： 函数单调性的性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 要使f（x）在R上为增函数，须保证f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上递增，且﹣02+（2﹣b）×0≤（2b﹣1）×0+b﹣1．

解答： 解：令f1（x）=（2b﹣1）x+b﹣1（x＞0），f2（x）=﹣x2+（2﹣b）x（x≤0），

要使f（x）在R上为增函数，须有f1（x）递增，f2（x）递增，且f2（0）≤f1（0），

即，解得1≤b≤2．

故选A．

点评： 本题考查函数单调性的性质，应熟练数掌握形结合思想在分析问题中的应用．

12．（5分）已知集合，则A∩B等于（）

A． {x|﹣1≤x＜0} B． {x|0＜x≤1} C． {x|0≤x≤2} D． {x|0≤x≤1}

考点： 交集及其运算．

专题： 计算题．

分析： 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中其他不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

解答： 解：由集合A中的不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=；

由集合B中的不等式解得：0＜x＜2，即B=（0，2），

则A∩B={x|0＜x≤1}．

故选C

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）函数的定义域是．

考点： 函数的定义域及其求法．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 要使函数有意义只需3﹣x2≥0且x﹣1≠0，解之即可得．

解答： 解：要使函数有意义只需3﹣x2≥0且x﹣1≠0，

解得﹣≤x≤且x≠1，

故函数的定义域为，

故答案为：．

点评： 本题考查了函数的定义域，求函数的定义域即求使式子有意义即可，属基础题．

14．（5分）函数g（x）=2x﹣的值域为

专题： 函数的性质及应用．

分析： 设=t，t≥0，转化为g（t）=2t2﹣t﹣2，t≥0，根据二次函数性质求解．

解答： 解：设=t，（t≥0），

则x+1=t2，即x=t2﹣1，

∴y=2t2﹣t﹣2=2（t﹣）2﹣，t≥0，

∴当t=时，ymin=﹣，

∴函数g（x）的值域为．

考点： 函数的单调性及单调区间．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 令t=﹣x2+8x+9，由t≥0解得，﹣1≤x≤9，则y=，且y在t≥0上递增，再由二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，即可得到减区间．

解答： 解：令t=﹣x2+8x+9，

由t≥0解得，﹣1≤x≤9，

则y=，且y在t≥0上递增，

由于函数t在﹣1≤x≤4上递增，在4＜x≤9上递减，

则所求函数在4＜x≤9上递减．

则单调减区间为（4，9]．

故答案为：（4，9]．

点评： 本题考查函数的单调性和单调区间，考查复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题和易错题．

16．（5分）函数f（x）=a x2﹣（a+1）x+2在区间（﹣∞，1）上是减函数，那么实数a的取值范围是．

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： a=0时，函数f（x）=﹣x+2为一次函数，显然满足在（﹣∞，1）上是减函数；a≠0时，函数f（x）为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得a的取值范围，合并这两种情况即得实数a的取值范围．

解答： 解：①a=0时，f（x）=﹣x+2，该函数为一次函数，在（﹣∞，1）上是减函数；

②若a≠0，函数f（x）为二次函数，对称轴为x=；

要使f（x）在区间（﹣∞，1）上是减函数，则：

，解得0＜a≤1；

综上得a的取值范围为．

故答案为：．

点评： 考查一次函数的单调性，以及二次函数单调性和对称轴的关系，不要漏了a=0的情况．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）用定义法证明函数f（x）=在区间（0，1）是减函数．

考点： 函数单调性的判断与证明．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．

解答： 解：设 x1，x2∈（0，1）且 x1＜x2，

则，

∵x1＜x2∴x2﹣x1＞0，

∵x1，x2∈（0，1）∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，

∴f（ x1）﹣f（ x2）＞0，即f（ x1）＞f（ x2），

所以，函数在区间（0，1）是减函数．

点评： 本题考查函数单调性的定义，考查单调性的证明，利用单调性的证明步骤是解题的关键．

18．（12分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数a的值；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

考点： 集合的包含关系判断及应用．

专题： 规律型．

分析： （1）根据条件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．

（2）A∪B=A，等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）有题可知：A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，

∵A∩B={2}，

∴2∈B，

将2带入集合B中得：4+4（a﹣1）+（a2﹣5）=0

解得：a=﹣5或a=1

当a=﹣5时，集合B={2，10}符合题意；

当a=1时，集合B={2，﹣2}，符合题意

综上所述：a=﹣5，或a=1．

（2）若A∪B=A，则B⊆A，

∵A={1，2}，

∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．

若B=∅，则△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣5）=24﹣8a＜0，解得a＞3，

若B={1}，则，即，不成立．

若B={2}，则，即，不成立，

若B={1，2}．则，即，此时不成立，

综上a＞3．

点评： 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．

19．（12分）设集合A=，集合B={x||2x﹣1|﹣a＜0}．

（1）当a=3时，求A∩B和A∪B；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

考点： 集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．

专题： 集合．

分析： （1）把a=3代入集合B，解出集合B，然后求解A∩B和A∪B；

（2）由A∪B=A，讨论集合B是否为空集．

解答： 解：（1）依题可知，当a=3时，B={x|﹣1＜x＜2}

所以，

（2）由A∪B=B，可知B⊆A

当a≤0时，B=∅，显然，符合题意；

当a＞0时，，要使B⊆A，则需得：0＜a≤2

综上所述，a的取值范围为（﹣∞，2]

点评： 本题主要考查集合的交集、并集的运算，属于基础题．

20．（12分）求函数f（x）=﹣x2+2x﹣3在区间上的最小值的最大值．

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 对f（x）配方即可知道f（x）的对称轴为x=1，且f（2）=f（0）=﹣3，所以讨论2a﹣1和0的关系，可结合二次函数f（x）的图象可求得f（x）的最小值，设最小值为g（a）=，根据二次函数的最值及分段函数的最值即可求得g（a）的最大值．

解答： 解：f（x）=﹣（x﹣1）2﹣2；

f（2）=﹣3，f（0）=﹣3；

∴当2a﹣1≤0即时，；

当0＜2a﹣1＜2即时，fmin（x）=f（2）=﹣3；

不妨记f（x）的最小值为g（a），则

﹣4a2+8a﹣6=﹣4（a﹣1）2﹣2；

∴时，﹣4a2+8a﹣6单调递增；

∴时，g（a）；

∴g（a）的最大值为﹣3；

即f（x）在上的最小值的最大值为﹣3．

点评： 考查配方法解决二次函数问题，知道如何讨论2a﹣1是求解本题的关键，以及二次函数的最大值，分段函数的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）=

（1）求不等式f（x）＞5的解集；

（2）若方程f（x）﹣=0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．

考点： 分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）当x≤0时，不等式f（x）＞5化为x+6＞5；当x＞0时，不等式f（x）＞5化为x2﹣2x+2＞5；求并集即可；

（2）方程有三个不同实数根，等价于函数y=f（x）与函数的图象有三个不同的交点，

画函数y=f（x）的图象，结合图象解题．

解答： 解：（1）当x≤0时，由x+6＞5得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤0，

当x＞0时，由 x2﹣2x+2＞5得x＜﹣1或x＞3，∴x＞3，

综上所述，不等式的解集为（﹣1，0]∪（3，+∞）

（2）方程有三个不同实数根，等价于函数y=f（x）与函数的图象有三个不同的交点，

函数y=f（x）的图象：

由图可知：，得：或

所以，实数m的取值范围

点评： 本题主要考查函数与不等式之间的关系，函数如果是分段的，要在每一段上考虑应用函数表达式是解题的关键．

22．（12分）已知函数y=x+有如下性质：如果常数k＞0，那么该函数在（0，）是减函数，在是增函数．

（1）已知f（x）=，利用上述性质，试求函数f（x）在x∈的值域和单调区间；

（2）由（1）中的函数f（x）和函数g（x）=x+a，若对任意的x∈，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题（1）通过令μ=2x﹣3换元，将原函数转化为，利用已知条件，得到函数的值域的单调区间，再μ满足的区间转化为x取值区间，得到本题结论；（2）本题恒成立问题，利用参变量分离，转化为求y=x+型函数最值问题，求出函数最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）令μ=2x﹣3（1≤μ≤3），

∴，

依题可知：在区间单调递增．

∴y=f（x）的值域为；

当μ∈时，x，

当μ∈（2，3]时，x．

∴y=f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）依题可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，

∴在x∈恒成立．

设，

令μ=2x﹣3（1≤μ≤3），

则．

∴a＞3．

点评： 本题考查了y=x+型函数的单调性和最值、还考查了化归转化的数学思想方法，本题难度不大，属于基础题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5401644ccc22bcd127ff0caa.html