求函数解析式的常用方法

求函数解析式的常用方法

求函数的解析式不仅是最基本的题型，而且在求解的过程中还蕴含着一些思想方法和解题技巧。

一、“拼凑变量”法

将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量，从而得到的解析式。

例1 已知, 求的解析式.

解析：等式左边是关于的函数，右边是关于的表达式，要想办法把右边的表达式拼凑成关于的表达式即可。

解：，将看成变量，

。

二、换元法

解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

例2 若函数满足，求的解析式。

解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设，利用换元法，转化为求。利用整体思想把看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意与是表示同一个函数。

解：令，则， ，

即。

点评：已知，求的解析式，通常用换元法，其步骤是：⑴ 设，确定的取值范围；⑵ 把看成常数，解关于的方程得到；⑶ 将代入，得到函数的解析式；⑷ 再用替换中的得函数的解析式。

三、待定系数法

我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。

例3 已知实系数的一次函数满足，求。

解：设一次函数，则

， 又，

比较对应的系数，得，

故的解析式为或。

点评：当已知函数的类型求其解析式时，常用此法。

练习：已知是二次函数且，求的解析式。

解：由题意，设，

则

对恒成立，

从而有， ， ，

即所求函数的解析式为。

四、方程法（消参法）

若已知式中出现两个不同的变量的函数关系式时，常常采用“消参法”解决，即依据这两个变量的关系，重新产生一个关于这两个变量的不同等式，利用整体思想，把和另一个函数看成未知数，解方程组得的解析式，类似于解二元一次方程组，故称为方程法。

例4 已知，求的解析式。

解：将 中的所有换为，得到

，由①②联立消去，得。

五、赋值法（特殊值法）

在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利于求解。

例5 已知函数，对任意的满足，且，求的解析式。

解析：等式中，含有两个未知量，令其中一个未知量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而达到求解的目的。

解：由题意，令，则

为，

即，再令，得。

点评：此种方法用于抽象函数，减少变量时通常是令或，一般要先求出特殊值对应的函数值，如、和等。

归纳拓展：

1. 求函数的解析式，就是要清楚对接受法则的对象施予什么运算和建立什么关系，并不在意接受法则的是哪一个字母或是怎样的式子。在进行变形或变量代换的过程中，要注意取值范围的变化。

2. 利用复合函数的式子求函数的解析式常有拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等方法。

课后练习：

1. 已知一次函数的图像经过点和，求的解析式。

2. 已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标为，求解析式。

3. 已知函数满足，求的解析式。

4. 已知函数为一次函数，且，求。

5. 已知函数，且，则得值是（ ）

A.8 B. 1 C. 5 D.

6. 已知，求的解析式。

7. 函数的定义域为，且对于定义域内的任意的都有，且，则的值为（ ）

A.1 B. C. D.

8. 已知，求。

9. 二次函数满足条件，。

（1） 求的解析式；

（2） 求在上的最值。

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