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广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2021届高三第一次模拟考试数学试卷 Word版含答案-

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龙城高级中学高三年级第一次模拟考试

数 学



考试时长：120分钟 满分150分
注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设集合A{a, b}，集合
A．B3, log2(a3，若AC．1,0,3
zB．2,0,3
B{0}, 则AB等于
1,0,30,3,4 D．
iz1i2．已知复数（i为虚数单位），则的虚部是 1111A．2 B．2i C．2 D．2i
3f(xxx,则ab0是f(af(b0的 3. 已知函数
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成1，且样本容量为300，则对应小长方形面积最大的一组的频数等比数列n，已知2为 A．20 B．60 C．80 D．160 5．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A．96 B．240 C．280 D．480 6．下列说法中不正确的是
．．．aa2a

k,0,kA．函数f(xtanx图像的所有对称中心可表示为点2Z．
B．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．
2x0Rx02x010pC．对命题：，使得，则p：xR，有xx10．
D．命题“在ABC中，若sinAsinB，则ab”为真命题．
7．设有n 个样本x1,x2,,xn,其标准差是6，另有n个样本y1,y2,,yn，且yk3xk5( k
= 1, 2, … , n ，则其标准差为

A. 54 B.21 C. 63 D.18


,f(x2sinx08．已知函数在区间34上的最大值是2，则ω的最小值等于
23A.3 B.2 C．2 D．3 9299．已知(x2a0a1(x1a2(x1...a9(x1，则a8
A. 27 B. 27 C. 324 D. 324
10．已知函数yf(x是定义在R上的函数，那么函数yf(x4的图象与函数yf(6x的图象之间

A．关于点
01，对称 05，对称

B．关于直线x1对称 D．关于直线x5对称

C．关于点11．f(x为定义在(,上的可导函数，且f(xf(x 对于任意xR恒成立，则



2020f(1ef(0 , f(2020ef(0 A．2020f(1ef(0 , f(2020ef(0 B．2020f(1ef(0 , f(2020ef(0 C．2020f(1ef(0 , f(2020ef(0 D．12．已知函数的是

f(xmxx1x1，则关于函数yf(x的零点情况，下列说法中正确A．当1m322时，函数yf(x有且仅有一个零点．
B．当m322或m1或m1或m0时，函数yf(x有两个零点． C．当322m0或0m1时，yf(x有三个零点． D．函数yf(x最多可能有四个零点．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知x0,y0，且是 ．
314．设函数f(x的导数为f(x，且f(xxf211，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围xy22xx，则f(1=______． 3
15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照
第1行 的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则第12行
第2行 的空心圆点的个数是 ． ．．第3行 第4行 第5行 第6行
•••••••••••••x0,1••第15题图
f(x16．偶函数满足，在f(x1f(x1，且在时，fxxx，则关于的方程fxlgxx0,4上的解的个数是 ．


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）
已知函数值． （I）求(II）若 18．（本小题满分12分）
的值；
在上是单调函数，求的取值范围. ，若在区间上有最大值，最小已知函数f(x2cosx(sinxcosxm(mR，将yf(x的图像向左平移4个单[0,]yg(xyg(x4内的最大值为2． 位后得到的图像，且在区间（Ⅰ）求函数yf(x的解析式； ，（Ⅱ）求函数yg(x在区间22上的单调性．


19．（本小题满分12分）
现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．
（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率； （Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记XY，求随机变量
的分布列与数学期望E(．

20.（本小题满分12分）
在ABC中，a2c2b22ac．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求2cosAcosC的最大值．

21.（本小题满分12分）
近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次，统计数据如表1所示：

根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图． （Ⅰ）根据散点图判断，在推广期内，yabx
与ycdx (c，d均为大于零的常数，你认为哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据：

17ilgyi,i7i1. 其中
附：对于一组数据(x1，y1，(x2，y2，…，(xn,ynˆxaˆˆ的斜率和截距的yb，其回归方程ˆb最小二乘估计分别为xyii1nninxynx2xi12iˆˆ，aybx. 22. （本小题满分12分）
x2,g(x2alnx(e为自然对数的底数） 已知函数f(xe （Ⅰ）求F(xf(xg(x的单调区间，若F(x有最值，请求出最值；
（Ⅱ）是否存在正常数a，使f(x与g(x的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，说明理由.
龙城高级中学高三年级第一次模拟考试
数学试题参考答案及评分参考
一、
题号 答案
选择题：
1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 A 12 C 二、填空题：

题号 答案
三、解答题： 17．解：（I） 所以，即(II） 所以，
由，即，在区间，所以

的取值范围是…10分
上是增函数
…………………5分
，
13 14 4 15 55 16 3 4 , 2

f(xsin2xcos2x1m2sin(2x1m418． 解：（Ⅰ）由题设得， g(x2sin[2(x]1m2sin(2x1m444 ，
3x[0,]2x[,]4时，444， 因为当2x所以由已知得42，即x8时，g(xmax2m12，
f(x2sin(2x4.………………………6分
故所求函数的解析式为g(x2sin(2x2k2x2k,k442（Ⅱ）由（Ⅰ），解不等式2Z， 3kxk,k8得8Z，
3k，k,kyg(x88所以函数在区间Z上单调递增，
5k，k,k8在区间8Z单调递减. 33kxk,kx88， 当k=0时，8Z就是83，，相对区间22，易知函数yg(x在88上单调递增， 3，，288，2上单调递减.……………………12分 在1219． 解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为3，选择B题目的概率为3，
记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件Ai（i0,1,2,3,4），显然i1B4,3
2i1iP(AiC4((4i33，

28313P(A3C4((3381 ………4分 （Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为（Ⅱ）的所有可能取值为0，3，4，且
16117024414P(0P(A0P(A4C4(C4(33818181， 223284011313P(3P(A1P(A3C4((3C4((3333818181， 224212P(4P(A2C4((23381，
的分布列是
P
E(0所以0 3 4 1781 4081 2481
1740248348181813 ………12分
22222220. 解：（Ⅰ）∵acb2ac，∴acb2ac，
πa2c2b22ac2∴cosB，∴B．………………………………5分 42ac2ac23（Ⅱ）∵ABCπ，∴ACπ，
4π2222∴2cosAcosC2cosA(cosAsinAcosAsinAsin(A，42222………………………8分
33ππ∵ACπ，∴A(0,π，∴A(,π，
4444π∴sin(A最大值为1，所以2cosAcosC最大值为1．………12分
4x21.解：（Ⅰ）根据散点图判断，ycd适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型； …………………………………………………………………3分
（Ⅱ）ycdx，两边同时取常用对数得：1gy1g(cdx1gc1gdx；
设1gyv,v1gc1gdx………………………………………………………6分
xx4,v1.54,i172i140，


lgdxv7xvii2ii177xi17x250.12741.5470.2514074228，

把样本中心点(4,1.54代入v1gc1gdx,得: lgc0.54，
v0.540.25x，lgy0.540.25x， ………………………………………10分
y关于x的回归方程式：y100.540.25x100.54(100.25x3.47100.25x；
2y3.4710347； x8把代入上式，
活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. …………………………………………12分
2x2a2(x2aeF(xf(xg(x,(x0exex22. 解：（Ⅰ）
①

当a0时,F(x0恒成立
F(x在(0,上是增函数，F(x只有一个单调递增区间0,，没有最值2分


②当a0时，若0x若xF(x2(xae(xae,(x0ex，
ea，则F(x0,F(x在(0,ea上单调递减；
ea，则F(x0,F(x在(ea,上单调递增，
当xea时，F(x有极小值，也是最小值，
即F(xminF(eaa2alneaalna…………4分 综上，当a0时，F(x的单调递增区间为0,，无最值；当a0时，F(x的单调递减区间为(0,ea，单调递增区间为(ea,，有最小值为alna，无最大值…………5分
（Ⅱ）方法一，若f(x与g(x的图象有且只有一个公共点，

则方程f(xg(x0有且只有一解，所以函数F(x有且只有一个零点，由a0， 由（Ⅰ）的结论可知F(xminalna0得a1…………7分


x22lnx0，F(xminF(e0， 此时，F(xf(xg(xef(eg(e1,f(x与g(x的图象的唯一公共点坐标为(e,1
又

f(eg(e2e2ef(x与g(x的图象在点(e,1处有共同的切线，
2e
其方程为y1(xe，即yx1…………10分

综上所述，存在a1，使f(x与g(x的图象有且只有一个公共点(e,1，且在该点处的公切线方程为y2ex1.…………12分

方法二：设f(x与g(x图象的公共点坐标为(x0,y0，
2f(x0g(x0x0
'2alnx0'ef(xf(x00根据题意得即
2x2a0x0e


由②得ax，代入①得e20lnx012，x0e，从而a1…………8分


因为a0，此时由（Ⅰ）可知F(xminF(e0当x0且xe时，F(x0,即f(xg(x

因此除x0e外，再没有其它x0，使f(x0g(x0…………10分
故存在a1，使f(x与g(x的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为(e,1，公切线方程为y

2ex1…………12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/514e7f130875f46527d3240c844769eae109a38a.html

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